空間的基

二維三維空間最重要的性質是， $m\le 3$ 維空間中存在 $m$ 個向量，其線性組合能唯一表示空間中任意向量，能推廣到高維空間嗎？

二維空間中任意向量表示為 $\mathbf{v}=(x,y)$ ，三維空間中任意向量表示為 $\mathbf{v}=(x,y,z)$ ，以此類推。

定義 $m$ 維向量 任意 $m$ 個有序實數構成的向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,?,v_m)$ 。

定義 $m$ 維空間 所有 $m$ 維向量構成的集合 $S=\{\mathbf{v}\}$ ，記為 $R^m$ ，向量集合也稱向量空間，簡稱空間。

空間是向量集合，這是線性代數對空間的表示！

二維和三維空間存在直角坐標系，空間中任意向量向坐標軸投影，得到坐標值，高維空間同樣存在直角坐標系，這是空間的一個極其重要的性質。

基的基本性質和無關組

例如 $m$ 維空間中向量組 $E=({\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=(0,?,1,?,0),i\in [1,m])$ ，$m$ 維向量 ${\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$ 有 $m$ 個分量，只有第 $i$ 個分量為1，其他分量均為0。向量組中每個向量長度均為1，任意兩個不同向量的內積為0（互相垂直）。該向量組構成直角坐標系，每個向量是一個坐標軸。

根據向量運算規則，可得 $m$ 維空間任意向量均可唯一表示為
$$(v_1,v_2,?,v_m)=\sum _{i=1}^m{v}_i{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$$
表示系數組是 $(v_1,v_2,?,v_m)$ ，是被表示向量本身！分量 $v_i$ 為坐標值，根據該性質，得到如下結論。

重要性質 $m$ 維空間中存在 $m$ 個向量，其線性組合能唯一表示空間中任意向量。

這個性質可以看作是公理。

存在無窮多種 $m$ 個向量，其線性組合能唯一表示空間中任意向量。例如向量組 $E^{\prime }=({{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }={\lambda }_i{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}},i=1,?,m)$ ，只要每個 ${\lambda }_i=0$ ，就能表示任意向量。
$$(v_1,v_2,?,v_m)=\sum _{i=1}^m\frac{v_i}{{\lambda }_i}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }$$
表示系數組是 $(v_1/{\lambda }_1,v_2/{\lambda }_2,?,v_m/{\lambda }_m)$ 。向量組 $E^{\prime }$ 中任意兩個不同向量的內積為0（互相垂直），每個向量 ${{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }$ 長度為 $|{\lambda }_i|$ 。向量組 $E^{\prime }$ 稱為廣義坐標系，每個向量 ${{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }$ 稱為廣義坐標軸，對應系數 $v_i／{\lambda }_i$ 稱為廣義坐標值。

定義 空間的基 能唯一表示空間中任意向量的向量組稱為基。

注意基的向量不一定要互相垂直，甚至任意兩個向量都不需垂直。比如二維空間中，任意不共線的兩個向量是基，如前面例子所示兩個二維向量 $\mathbf{v}=(1,1)$ 和 $\mathbf{w}=(2,1)$ ，就是基，每個向量長度不為1，不互相垂直。

三維空間中，任意不共面的三個向量是基。它們均不需垂直，當然了，如果基向量兩兩互相垂直，這樣的基使用起來更方便，表示系數更容易從基和被表示向量計算出來！

向量組要成為基，需要具備什么條件呢？任意向量肯定不行，三維空間中如果這些向量都位于平面內，顯然不行。

重要性質 空間中任意向量能被基唯一表示。

重要性質 $0$ 向量被基表示時，有唯一表示且表示系數組為全零 $(0,?,0)$ 。

這個性質看起來平凡，但在線性代數具有基礎地位，希望大家牢記。這個性質看起來很直觀，但必須證明！

證明如下，存在性很顯然，當表示系數組為全零時，任意向量組的線性組合均是 $0$ 向量。

證唯一性，令基為向量組 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 。假如 $0$ 向量有非全0的線性組合表示，令表示系數組為 $({\lambda }_1,?,{\lambda }_n)$ ，滿足
$$0＝{\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\lambda }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$$
對任意向量 $\mathbf{y}$ ，根據基的性質，一定有表示系數組，滿足
$$\mathbf{y}={\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{y}=\mathbf{y}+k0={\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}} \\ +k({\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\lambda }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}) \end{gathered}$$

$k$ 取任意實數，這說明任意向量 $\mathbf{y}$ 有無窮多種線性表示，與基的性質（唯一表示）矛盾！

重要性質 基中的任一向量不能表示為基中其他向量的線性組合，互相獨立。

證：令基為向量組 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 。假如存在某個基向量能表示為其他向量的線性組合，不妨令向量 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ 能表示為其他向量的線性組合，則存在表示系數組 $({\lambda }_1,?,{\lambda }_{n?1})$ ，滿足
$${\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}＝{\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\lambda }_{n?1}{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}?1}$$
等式兩邊減去向量 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ ，得
$$0＝{\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\lambda }_{n?1}{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}?1}?{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$$
這說明 $0$ 向量的表示系數組為 $({\lambda }_1,?,{\lambda }_{n?1},?1)$ ，因為最后分量是－1，所以表示系數不是全0，這與 $0$ 向量有唯一表示且表示系數組為全零，矛盾！

是否存在 $n<m$ 個向量，其線性組合能唯一表示 $m$ 維空間中任意向量？

重要性質 $m$ 維向量有 $m$ 個分量，每個分量都是自由變量，而 $n$ 個向量的線性組合只有 $n$ 個自由變量，當 $n<m$ 時，必然存在不能被表示的向量，所以 $m$ 維空間中基的向量數量不能少于 $m$ 。

重要性質 $m$ 維空間中基的向量數量必是 $m$ ！

$0$ 向量的全零表示和向量互相獨立， 這兩個重要性質不僅對基成立，而且對基的任意子集也成立！這兩個性質還是等價的，它們如此重要，數學中對重要性質必須取個名，進行定義，方便交流。

定義 線性無關組 基的任意子集，包括基本身，簡稱無關組。

根據定義，單個非零向量是無關組！

重要性質 $0$ 向量被無關組表示時，有唯一表示且表示系數組為全零。

重要性質 無關組中任一向量不能表示為其他向量的線性組合，互相獨立。

重要性質 無關組的任意子集，是無關組。

因為無關組的子集也是基的子集。

重要性質 無關組是基的子集，所以 $m$ 維空間中無關組中向量數量最多只能是 $m$ 。

任意向量被基表示時，只有唯一表示。無關組是基的子集，當某向量能被無關組表示時，表示也唯一嗎？

重要性質 如果某向量能被無關組表示，則表示唯一。

該性質在線性代數中具有無比重要的地位。

證明：令無關組為 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ ，假設向量 $\mathbf{y}$ 有兩種表示，為
$$\begin{gathered} \mathbf{y}={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\lambda }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}} \\ \mathbf{y}={\beta }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\beta }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}} \end{gathered}$$
兩式相減，得
$$0=\mathbf{y}?\mathbf{y}=({\lambda }_1?{\beta }_1){\mathbf{v}}_1+?+({\lambda }_n?{\beta }_n){\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$$
這表明 $0$ 向量的表示系數組為 $(({\lambda }_1?{\beta }_1),?,({\lambda }_n?{\beta }_n))$ ，不是全0，與 $0$ 向量有唯一表示且表示系數組為全零，矛盾！

無關組是基的子集，那向無關組中增加新的向量，能使其成為基嗎？

重要性質 任意無關組都能通過增加新向量，使其擴充為基。

證：假設無關組為 $V$ ，則空間中必存在不能被 $V$ 表示的向量，將該向量加入 $V$ 得 $V_1$ ，則 $V_1$ 是無關組，如果 $V_1$ 是基，則結束。如果不是，則空間中必存在不能被 $V_1$ 表示的向量，將該向量加入 $V_1$ 得 $V_2$ ，則 $V_2$ 是無關組，如果 $V_2$ 是基，則結束。如果不是，一直繼續下去，最終必將獲得基，因為基只有有限個向量。

重要性質 無關組是基的真子集時，基中剩下的任意向量都不能被無關組表示，它們的線性組合也不能被無關組表示，這樣空間中必存在不能被無關組表示的向量。

基的關系和向量組等價

$m$ 維空間中存在任意多的基，這些基之間有什么關系呢？

令兩個基分別為向量組 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})$ ， $W=({\mathbf{w}}_1,?,{\mathbf{w}}_{\mathbf{m}})$ ，注意必須是 $m$ 個向量！

由于任意向量均能被基唯一表示，則基 $W$ 中的每個向量都能被基 $V$ 唯一表示！
$$\begin{gathered} {\mathbf{w}}_1={\alpha }_{11}{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_{1m}{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}=V{\alpha }_1 \\ ? \\ {\mathbf{w}}_{\mathbf{i}}={\alpha }_{i1}{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_{im}{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}=V{\alpha }_{\mathbf{i}} \\ ? \\ {\mathbf{w}}_{\mathbf{m}}={\alpha }_{m1}{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_{mm}{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}=V{\alpha }_{\mathbf{m}} \\ W=({\mathbf{w}}_1,?,{\mathbf{w}}_{\mathbf{m}})=(V{\alpha }_1,?,V{\alpha }_{\mathbf{m}})=V({\alpha }_1,?,{\alpha }_{\mathbf{m}})=V\mathrm{A} \end{gathered}$$
向量 ${\mathbf{w}}_{\mathbf{i}}$ 表示系數組為 ${\alpha }_{\mathbf{i}}=({\alpha }_{i1},?,{\alpha }_{im})$ ，為了使公式看起來簡潔，采用了簡記符號。

同理，基 $V$ 中的每個向量都能被基 $W$ 唯一表示，同樣可得，
$$V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})=(W{\alpha }_1^{\prime },?,W{\alpha }_{\mathbf{m}}^{\prime })=W({\alpha }_1^{\prime },?,{\alpha }_{\mathbf{m}}^{\prime })=W{\mathrm{A}}^{\prime }$$
即兩個基可互相表示，將此概念推廣到任意兩個向量組，定義向量組等價概念！

定義 兩個向量組可互相表示 向量組1的任一向量可由向量組2線性表示，向量組2的任一向量可由向量組1線性表示。

定義 兩個向量組等價 兩個向量組可互相表示。

重要性質 $m$ 維空間中任意基互相等價。

注意向量組等價，不一定要求向量組包含相同數目的向量。比如向基中增加任意數目的任意向量后，新的向量組能表示空間中任意向量，所以它和任意基等價。

向量組等價，不一定要求向量組包含基。比如無關組，向無關組中增加任意數目的能由無關組表示的向量后，新的向量組和原無關組等價。

兩個無關組也可以等價，比如三維空間中向量組 $((1,0,0),(0,1,0))$ 和向量組 $((1,2,0),(1,1,0))$ 等價。

重要性質 $m$ 維空間中兩個無關組等價時，其包含的向量數量必須相等。

無關組中任一向量不能表示為其他向量的線性組合，每個向量都是獨立的，向量數量不同的無關組能表示的"向量總數"是不同的，所以不可能等價。等價關系是對向量組的整體評價，不能局限于單個向量。線性空間章節對此有深入探討。

最簡基：標準正交基

任意 $m$ 個線性無關的向量都是基，那什么基最好，如何衡量基的好壞？猜測最好的基就是坐標系，為什么呢？需要進行理論提升，并推廣到 $m$ 維空間。

令 $m$ 維空間中基向量為 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})$ ，對任意向量 $\mathbf{y}$ ，根據基的性質，有唯一表示，
$$\mathbf{y}={\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_m{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}$$

如何求出表示系數組 $({\alpha }_1,?,{\alpha }_m)$ 呢？一般來說當基是任意的，是比較困難的，但當基向量互相解耦時，很容易求出。解耦就是向量之間沒有耦合在一起，可以獨立處理每個向量，這個概念十分重要。

幾何學大量研究對象互相垂直，有線與線、線與面和面與面的垂直。為什么垂直如此重要？一個是人類與地面垂直，樹木與地面垂直，天天接觸到垂直現象，當然要重點研究。二是數學上，兩個對象垂直，則內積為0，0是最特殊的數，萬數從零中孕育，與0結合后（相乘）又歸于0！

0乘以任意數為0，這是對象能解耦的數學基礎。上式兩邊與任意基向量 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}$ 求內積，
$$({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},\mathbf{y})=({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},{\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_m{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})={\alpha }_1({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{v}}_1)+?+{\alpha }_m({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})$$

當任意不同基向量的內積 $({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}})$ 都為0時，等式右邊各個基向量就解耦了，只剩下一項內積－－自身內積。
$$\begin{gathered} ({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},\mathbf{y})={\alpha }_i({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}) \\ {\alpha }_i=({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},\mathbf{y})/({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}})=({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},\mathbf{y})/\Vert {\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}{\Vert }^2 \end{gathered}$$
表示系數只與自身向量有關，解耦！

定義 正交基 任意兩個基向量垂直，也稱基向量兩兩垂直或互相垂直。

二維空間中任意互相垂直的兩個向量是正交基；三維空間中任意互相垂直的三個向量是正交基。

定義 標準正交基 正交基中每個基向量是單位向量時，即 $\Vert {\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}\Vert =1$ 。

此時，表示系數為 ${\alpha }_i=({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},\mathbf{y})$ 。根據內積的幾何意義，表示系數為表示向量與基向量的投影，所以最容易算出表示系數的基就是最好基－－標準正交基。
此時表示向量為

$$\mathbf{y}=({\mathbf{v}}_1,\mathbf{y}){\mathbf{v}}_1+?+({\mathbf{v}}_{\mathbf{m}},\mathbf{y}){\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}$$
這就是矢量的正交分解！

根據內積計算公式，計算內積需要計算 $m$ 個分量的乘積，當基向量有很多0分量時，稱向量稀疏，計算速度更快。最稀疏的基向量只有一個非零分量。例如 $m$ 維空間中向量組 $E=({\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=(0,?,1,?,0),i\in [1,m])$ ，$m$ 維向量 ${\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$ 有 $m$ 個分量，只有第 $i$ 個分量為1，其他分量均為0，是最稀疏的標準正交基。當非零分量不為1時，是最稀疏的正交基。

如果基中向量不互相垂直，可以通過操作使之互相垂直。很可惜不是所有基都能變換成最稀疏的正交基，部分基可以。

基張成整個空間

$m$ 維空間是向量的集合，該集合包括空間中任意向量。怎么用數學工具定量描述這個集合呢？因為空間中向量是不可數的（和自然數集找不到一一對應的關系），所以一一列出來是不可能的（整數和有理數都可一一列出來，實數不可一一列出來）?；木€性組合可以表示空間中任意向量，這為描述 $m$ 維空間提供了技術手段。

$m$ 維空間中任意基 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})$ ，基 $V$ 的線性組合能表示空間中任意向量，所以基的線性組合能表示的向量集合就是 $m$ 維空間！記為 $S(V)$ ，空間 $S$ 稱為由基 $V$ 張成，基 $V$ 稱為空間 $S$ 的生成基。

令 $m$ 維空間中基向量為 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})$ ，其線性組合表示的向量集合為
$$S(V)=\{{\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_m{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}:{\alpha }_i\in R,?i=[1,m]$$

表示系數為任意實數，向量集合為整個空間?？梢詮亩嘣瘮到嵌扔^察基的線性組合，表示系數組為 $m$ 元自變量，定義域為 $R^m$ 空間，輸出為 $R^m$ 空間向量。自變量取完定義域中所有值，輸出得到空間所有向量。函數是一一映射，因為基能唯一表示空間的任意向量，所以空間的任意向量只有唯一表示。

舉例如下，二維空間中，假設有2個基，分別為： $V_1=((1,0),(0,1))$ ， $V_2=((1,1),(0,1))$ 。張成空間分別為： $S(V_1)=(\alpha (1,0)+\beta (0,1)=(\alpha ,\beta ))$ ， $S(V_2)=(\alpha ,\alpha +\beta )$ ，張成空間 $S(V_1)$ 和 $S(V_2)$ 雖然生成基不同，但是它們都是整個二維空間。

從生成空間都是同一空間，即整個 $m$ 維空間的角度看，任意基是等價！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1.3 空间的基的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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