子空間

二維平面經常研究直線，三維空間經常研究平面，它們都是整個空間的部分空間。整個空間是向量集合，那部分空間應該是其子集，所以部分空間稱為子空間。無關組是基的子集，基的線性組合可以表示整個空間，那無關組的線性組合是否可以表示子空間呢？

無關組張成子空間

二維空間中任意向量可分解為任意不共線的兩個向量和，三維空間中任意向量可也分解為兩個向量和：一個向量位于任意平面內，另一個向量位于平面外。那整個空間也可以分解為兩個子空間的和嗎？

解開空間分解的鑰匙在于基！令 $m$ 維空間基為 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})$ ，其線性組合表示的向量集合為
$$S(V)=\{{\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_m{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}\}$$

以前都是把基作為一個整體看，現在換個角度看，世界就變了！

假設基任意分為兩個互補的無關組，例如 $V_1=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{k}})$ 和 $V_2=({\mathbf{v}}_{\mathbf{k}+1},?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})$ ， $k\ge 1且k<m$ ，上式變為，
$$\begin{gathered} S(V)=\{{\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_m{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}\} \\ =\{({\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_k{\mathbf{v}}_{\mathbf{k}})+({\alpha }_{k+1}{\mathbf{v}}_{\mathbf{k}+1}+?+{\alpha }_m{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})\} \\ =\{S_1(V_1)+S_2(V_2)\} \end{gathered}$$
這兩個向量組都是基的子集，所以它們是無關組。 $S_1(V_1)$ 是無關組 $V_1$ 的線性組合表示的向量集合， $S_2(V_2)$ 是無關組 $V_2$ 的線性組合表示的向量集合。既然基的線性組合表示的向量集合是整個空間，那基的子集線性組合表示的向量集合，也是個空間，稱為子空間。

定義 子空間 基的子集線性組合表示向量的集合，也稱子集張成的空間。

那子空間幾何圖像是什么呢？舉例如下，二維空間中，假設基為： $V=({\mathbf{v}}_1=(1,0),{\mathbf{v}}_2=(0,1))$ 。子集只有一個向量，如 ${\mathbf{v}}_1$ ，其線性組合是 $\alpha {\mathbf{v}}_1$ ，表示一條直線！直線是二維平面的子空間，直線具體為 $(\alpha ,0)$ 即 $x$ 軸。子集 ${\mathbf{v}}_2$ 張成的子空間是 $y$ 軸。

三維空間中，假設基為： $V=({\mathbf{v}}_1=(1,0,0),{\mathbf{v}}_2=(0,1,0),{\mathbf{v}}_3=(0,0,1))$ 。子集是 ${\mathbf{v}}_1$ 時，其線性組合是 $\alpha {\mathbf{v}}_1$ ，表示一條直線！直線是三維空間的子空間，直線具體為 $(\alpha ,0,0)$ 即 $x$ 軸。子集 ${\mathbf{v}}_2$ 張成的子空間是 $y$ 軸，子集 ${\mathbf{v}}_3$ 張成的子空間是 $z$ 軸。

子集是 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$ 時，其線性組合是 $\alpha {\mathbf{v}}_1+\beta {\mathbf{v}}_2$ ，表示一個平面！平面是三維空間的子空間，平面由這兩個向量確定，具體為 $(\alpha ,\beta ,0)$ 即 $xy$ 平面。

定義 子空間維度 無關組張成的子空間的維度等于無關組中向量的數量。

這個定義和 $m$ 維空間的維度相融，因為 $m$ 維空間中無關組中向量的數量是 $m$ 。

比如三維空間中任意過原點的平面是子空間，維度是2維；二維平面中任意過原點的直線是子空間，維度是1維。

特別強調下，原點 $0$ 向量構成一個0維子空間。

定義 子空間基 子空間的基就是張成該子空間的無關組。

比如三維空間中任意過原點的平面是子空間，子空間基就是該平面內任意兩個不共線的向量；二維平面中任意過原點的直線是子空間，子空間基就是該直線內任意向量。

子空間的基，如果空間的基一樣，有無窮多種，也是正交基最簡。

比如三維空間中，假設無關組為： $V_1=({\mathbf{v}}_1=(1,0,0),{\mathbf{v}}_2=(0,1,0))$ 。其線性組合是 $\alpha {\mathbf{v}}_1+\beta {\mathbf{v}}_2$ ，表示 $xy$ 平面，即 $(\alpha ,\beta ,0)$ ，基是標準正交基。另一無關組為： $V_2=({\mathbf{v}}_1=(1,1,0),{\mathbf{v}}_2=(2,1,0))$ 。其線性組合是 $\alpha {\mathbf{v}}_1+\beta {\mathbf{v}}_2$ ，同樣表示 $xy$ 平面，即 $(\alpha +2\beta ,\alpha +\beta ,0)$ ，基是普通基。這兩個無關組都是 $xy$ 平面的基。

定義 無關組等價 無關組張成同一子空間。

等價無關組中向量數量等于子空間維度。這個概念是從幾何上判斷無關組等價，無關組向量可互相表示是從代數上判斷等價。做到數形結合，才能真正理解概念。

線性空間

無關組張成的空間是線性空間，那什么是線性空間呢？是不是平面內任意直線都是線性空間，三維空間中任意直線和平面都是線性空間？不是的，必須是過原點的直線和平面才是線性空間！為什么要這么定義呢？線性空間是向量的集合，必須滿足對向量進行數乘和兩個向量相加后，結果向量位于原空間內，這樣要求后，數學上特別容易處理。

定義 線性空間 線性空間 $S$ 是向量集合，集合內向量必須滿足下述兩個性質：

如果向量 $\mathbf{v}\in S$ ，則向量的任意實數乘 $\alpha \mathbf{v}\in S$ ；

如果任意兩個向量 $\mathbf{v}\in S$ 和 $\mathbf{w}\in S$ ，則它們和 $\mathbf{v}+\mathbf{w}\in S$ 。

上面兩個性質稱為線性空間的數乘和相加封閉性，即向量數乘和相加后還必須位于空間，即封閉性。

重要性質 根據線性空間的性質1，當實數為0時，線性空間必須包括 $0$ 向量。

如果兩個向量 $\mathbf{v}\in S$ 和 $\mathbf{w}\in S$ ，根據性質1，得 $\alpha \mathbf{v}\in S$ 和 $\beta \mathbf{w}\in S$ ；再根據性質2得，$\alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{w}\in S$ 。

向量的線性組合屬于集合，由于線性組合是線性運算，所以稱為線性空間。

重要性質 對任意數量向量
$$if{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}\in S(i=1,?,n)then{\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\in S$$
取任意向量組 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ ，這樣向量組 $V$ 線性組合所表示的所有向量構成了線性空間，記為 $S(V)$ ，空間 $S$ 稱為由向量組 $V$ 張成，向量組 $V$ 稱為空間 $S$ 的生成向量組。

根據這個定義，當向量組取無關組或基時，就是前面定義的空間，所以前面介紹的空間都是線性空間。后面空間不特別說明，均指線性空間。

線性空間不需要定義向量內積，只需定義向量數乘和加法。定義了內積的線性空間，稱為內積空間，即歐幾里德空間，這是我們最熟悉的空間。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1.4 子空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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