基的判斷

$m$ 維空間中任意 $m$ 個向量的向量組 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})$ 如何判斷其是否為基，這些線性代數(shù)一個核心問題。可以從幾何和代數(shù)兩個方面考慮。

幾何上，向量組張成整個空間，所以能張成整個空間的向量組就是基。具體判斷（或想象，因為三維以上空間只能想象）如下，向量組有 $m$ 個向量，可以向一個空集每次只增加一個向量，集合每增加一個向量后，判斷集合內(nèi)向量組是否能張成“完整”子空間，如果不能，則不是基。比如第一個向量肯定可以張成完整的一維子空間（直線）；增加第二個向量時，如果該向量與第一個向量共線，則集合不能張成“完整”二維子空間（平面），則向量組不是基，判斷結(jié)束。如果該向量與第一個向量不共線，則繼續(xù)增加一個向量。第三個向量如與前兩個共面，則集合不能張成“完整”三維子空間，則向量組不是基，判斷結(jié)束。如不共面，則繼續(xù)增加一個向量，依次進行，直到取完所有向量。只有當最后一個向量加入后，能張成“完整”空間，向量組才是基。

基按照上述方式看的話，每次增加的向量都不位于集合所處的子空間內(nèi)，有“張角”， $m$ 個向量完整地張開了整個空間，廣義體積不為0！如果 $m$ 個向量不是基，則必有某個向量“躺在”集合所處的子空間內(nèi)，不能完整地張開整個空間，廣義體積為0。 這種幾何圖像對后面理解矩陣可逆和行列式非常關(guān)鍵！

這種方法只適合二維空間，三維空間必須借助計算機輔助繪圖，才能觀察到，但思想很重要。

代數(shù)上，通過判斷向量組表示 $0$ 向量時，是否只有唯一全0表示，如果是，則是基，否則非基。這最后會歸結(jié)于求線性方程的零解。 $m$ 維空間向量相等需每個分量相等，每個分量可得到一個方程，$m$ 個分量得到 $m$ 個方程。$m$ 個向量，所以表示系數(shù)有 $m$ 個，是 $m$ 元方程。低元方程可用初中學過的變量代入消元法求解，高元方程用高斯消元法求解，后面有專門章節(jié)介紹。代數(shù)法的好處是可以判斷任意維度空間的向量組是否為基，代數(shù)是工具。線性代數(shù)很多問題最后都要歸結(jié)于計算問題，計算只是工具，幾何才是靈魂。

$m$ 維空間中 $m$ 個向量的向量組 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})$ ，其線性組合表示 $0$ 向量為
$$0={\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_m{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}$$
這時必須把向量拆開，看到每個分量才能解方程。令 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}=({\mathbf{V}}_{\mathbf{i}1},?,{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}},?,{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}\mathbf{m}})$ ，即第 $j$ 個分量為 ${\mathbf{V}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}}$ 。根據(jù)向量數(shù)乘、加法和相等規(guī)則，可得
$$\begin{gathered} {\alpha }_1{\mathbf{V}}_{11}+?+{\alpha }_i{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}1}+?+{\alpha }_m{\mathbf{V}}_{\mathbf{m}1}=0 \\ {\alpha }_1{\mathbf{V}}_{12}+?+{\alpha }_i{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}2}+?+{\alpha }_m{\mathbf{V}}_{\mathbf{m}2}=0 \\ ? \\ {\alpha }_1{\mathbf{V}}_{1\mathbf{m}}+?+{\alpha }_i{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}\mathbf{m}}+?+{\alpha }_m{\mathbf{V}}_{\mathbf{m}\mathbf{m}}=0 \end{gathered}$$
$m$ 個方程 $m$ 個未知數(shù)。注意與未知數(shù) ${\alpha }_i$ 相乘的系數(shù)只有向量 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}$ 的分量。

例如，二維空間中，向量組 $\mathbf{V}=({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2),{\mathbf{v}}_1=(1,2)$ 和 ${\mathbf{v}}_2=(3,4)$ ，對應(yīng)方程為
$$\begin{gathered} 1{\alpha }_1+3{\alpha }_2=0 \\ 2{\alpha }_1+4{\alpha }_2=0 \end{gathered}$$

只有唯一0解，向量組是基。

例如，三維空間中，向量組 $\mathbf{V}=({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3),{\mathbf{v}}_1=(1,2,3)$ ， ${\mathbf{v}}_2=(4,5,6)$ 和 ${\mathbf{v}}_3=(10,14,18)$ 對應(yīng)方程為
$$\begin{gathered} 1{\alpha }_1+4{\alpha }_2+10{\alpha }_3=0 \\ 2{\alpha }_1+5{\alpha }_2+14{\alpha }_3=0 \\ 3{\alpha }_1+6{\alpha }_2+18{\alpha }_3=0 \end{gathered}$$

有非0解 $(2,2,?1)$ ，向量組不是基。

無關(guān)組是基的子集，判斷 $n<m$ 個向量是否為無關(guān)組，方法完全相同！幾何上，只有整個向量組能張成“完整”子空間（“完整”子空間維度等于向量數(shù)量），向量組才是無關(guān)組。代數(shù)上，通過判斷向量組表示 $0$ 向量時，是否只有唯一全0表示，只不過未知數(shù)只有 $n$ 個。

例如，三維空間中，向量組 ${\mathbf{v}}_1=(1,2,3)$ ， ${\mathbf{v}}_2=(4,5,6)$ 對應(yīng)方程為
$$\begin{gathered} 1{\alpha }_1+4{\alpha }_2=0 \\ 2{\alpha }_1+5{\alpha }_2=0 \\ 3{\alpha }_1+6{\alpha }_2=0 \end{gathered}$$

只有唯一0解，向量組是無關(guān)組。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的1.5 基的判断的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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