相關組

前面介紹的向量組都是無關組，是基的子集。現實中，向量組不可能都是無關組，還有相關組。相關組的存在極大增加了線性代數的難度，同時也增加了解決現實問題的難度。

基本性質

定義 相關組 無關組中增加任意數目的能由無關組表示的向量后，擴充后的向量組稱為相關組。

二維空間中，無關組為： $V=((1,0),(0,1))$ ，它們是基，因為任意向量能由基表示，增加任意數目的任意向量后就變為相關組。比如相關組為： $V_d=((1,0),(0,1),(2,3),(4,5))$ 。

三維空間中，無關組為： $V=((1,1,0),(0,1,0))$ ，增加任意數目的能由無關組表示的向量后就變為相關組。比如相關組為： $V_d=((1,1,0),(0,1,0),(2,3,0))$ 。但注意，如果增加了不能由其線性組合表示的向量后，向量組可能是無關的，比如無關組為： $V_{d1}=((1,1,0),(0,1,0),(2,3,1))$ 。理解相關組的難點在于，如果增加了不能由其線性組合表示的向量后，向量組也可能是相關的！比如相關組 $V_{d2}=((1,1,0),(0,1,0),(2,3,1),(2,3,4))$ 。為什么會有矛盾的結果呢？其實并不矛盾，這在于看問題的角度，這時相關組 $V_{d2}$ 中包含的無關組不再是 $V$ ，而是 $V_{d1}$ ！此時新增加的向量 $(2,3,4)$ 能由向量組 $V_{d1}$ 表示，所以是相關組。這說明任意相關組中，存在很多無關組，因為無關組的任意子集還是無關組，但必然存在一個最大的無關組，其它向量都能由該無關組表示。

定義 極大無關組 相關組中包含的最大無關組。

相關組的極大無關組一般有多個。比如二維空間中包含若干個向量的相關組，任意兩個不共線的向量組均是極大無關組。相關組 $V_{d2}$ 就包括兩個極大無關組， $((1,1,0),(0,1,0),(2,3,1))$ 和 $((1,1,0),(0,1,0),(2,3,4))$ 。

重要性質 $0$ 向量被相關組表示時，存在表示系數組不全為零的表示。

證，相關組有 $n$ 個向量，為 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ ，根據相關組定義，必有某個向量能被其它向量表示，假設向量 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ 能被其它向量表示，則 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\lambda }_{n?1}{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}?1}$ ，兩邊減去向量 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ ，則 $0={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\lambda }_{n?1}{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}?1}?{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ 。

重要性質 如果某向量能被相關組表示，則表示必有無窮多種。

證，相關組有 $n$ 個向量，為 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ ， $0$ 向量的表示系數組為 $({\lambda }_1,?,{\lambda }_n)$ ，不全為0，滿足 $0＝{\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\lambda }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ ， 某向量 $\mathbf{y}$ ，如果有線性表示，則滿足 $\mathbf{y}={\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ ，則 $\mathbf{y}=\mathbf{y}+k0={\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}+k({\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\lambda }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ ，$k$ 取任意實數，這說明向量 $\mathbf{y}$ 有無窮多種線性表示！

總結下，某向量如果能被向量組表示，那么如果是無關組則表示唯一，如果是相關組則表示不唯一。

重要性質 向量組中如果某向量能表示為其他向量的線性組合，則是相關組。

以上幾個性質都是等價的。

極大無關組、秩和向量組等價

現在從空間角度研究相關組。如同無關組，相關組的線性組合表示的所有向量的集合，構成空間。

定義 向量組的秩 向量組張成空間的維度。

無關組張成空間的維度就是無關組中向量的數量，所以秩就等于向量數量。相關組包含極大無關組，剩下的向量都能由極大無關組表示，所以相關組的線性組合能表示的所有向量集合，與極大無關組能表示的所有向量集合相同，極大無關組就是相關組張成空間的基。從生成空間的角度看，極大無關組和相關組等價。

定義 向量組等價 向量組張成相同空間。

重要性質 相關組的秩等于極大無關組中向量數量，極大無關組是相關組張成空間的基，極大無關組和相關組等價。

如何判斷向量組是相關組還是無關組呢？方法和判斷基的方法一樣。幾何上，如果沒有向量“躺在”構造的集合所處的子空間內，則是無關組，每個向量都有“張角”，張開了空間的一個維度。如果無關組完整地張開了整個空間，則是基，廣義體積不為0！如果有向量“躺在”構造的集合所處的子空間內，則是相關組，該向量沒有“張角”。代數方面，是通過判斷向量組表示 $0$ 向量時，是否只有唯一全0表示，如果是，則是無關組，否則是相關組。

如何尋找相關組的極大無關組呢？幾何上，向量組有 $n$ 個向量，可以向一個空集每次只增加一個向量，集合每增加一個向量后，如果新向量能張開一個維度，即與集合無關，則該向量加入集合，否則丟棄。比如第一個向量肯定可以張開一個維度（直線），加入集合；增加第二個向量時，如果該向量與第一個向量共線，則不能張開一個維度，即與集合相關，丟棄；如果不共線，則能張開一個維度，即與集合無關，加入集合，集合現在包括兩個向量。依次進行，每次增加一個向量，該向量或丟棄或加入集合，直到取完所有向量。此時集合就是極大無關組，因為集合內所有向量無關且包含了所有無關的向量。由于取向量的順序可任意，故極大無關組可有很多。代數上，通過高斯消元法可以找到極大無關組。

總結

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