多于空間維度的向量組

二維平面中任意向量被二個以上向量表示時肯定不唯一，三維平面中任意向量被三個以上向量表示時肯定不唯一。這說明在二維空間中二個以上向量肯定是相關的，三維空間中三個以上向量肯定是相關的，那 $m$ 維空間中多少個向量肯定相關呢？肯定是 $m$ 個以上！

重要性質 $m$ 維空間中任意 $n$ 個向量（$n>m$），如果極大無關組是基，則任意向量被 $n$ 個向量表示時有無窮多種。

證：假設前 $m$ 個向量為 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})$ ，是極大無關組，構成基，后 $n?m$ 個向量為 $U=({\mathbf{u}}_1,?,{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}?\mathbf{m}})$ 。 $m$ 維空間中任意向量 $\mathbf{y}$ ，則
$$\mathbf{y}=({\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_m{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}})+({\beta }_1{\mathbf{u}}_1+?+{\beta }_{n?m}{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}?\mathbf{m}})$$
表示系數組 $({\beta }_1,?,{\beta }_{n?m})$ 取任意值時，均存在唯一表示系數組 $({\alpha }_1,?,{\alpha }_m)$ 滿足上式，故存在無窮多種表示系數組 $({\alpha }_1,?,{\alpha }_m,{\beta }_1,?,{\beta }_{n?m})$ 表示任意向量 $\mathbf{y}$ 。

重要性質： $m$ 維空間中任意 $n$ 個向量（$n>m$），如果極大無關組不是基，則空間存在向量不能被其表示。

重要性質： $m$ 維空間中任意 $n$ 個向量（$n>m$），必線性相關。

因為 $m$ 維空間只有 $m$ 個維度，所以必有向量不能張開單獨的一維，是相關組。

總結

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