矩陣乘以矩陣

乘法定義

進一步分析基變換關系， $n$ 維空間中任意向量 $\mathbf{x}=a_1{\mathbf{v}}_1+?+a_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ ，用矩陣乘以向量表示為 $\mathbf{x}=V\mathbf{a}$ ，矩陣 $V$ 由 $n$ 維空間中基構成， 稱為基矩陣， $n$ 維向量 $\mathbf{a}$ 是表示向量。變換為 $m$ 維空間的向量 $\mathbf{y}=a_1{\mathbf{w}}_1+?+a_n{\mathbf{w}}_{\mathbf{n}}$ ，用矩陣乘以向量表示為 $\mathbf{y}=W\mathbf{a}$ ，矩陣 $W$ 由基變換向量組構成，稱為基象矩陣。
$$\begin{gathered} \mathbf{x}=V\mathbf{a} \\ \mathbf{y}=A\mathbf{x} \\ \mathbf{y}=W\mathbf{a} \\ A(V\mathbf{a})=W\mathbf{a} \end{gathered}$$
對任意 $n$ 維向量 $\mathbf{a}$ 均成立。

如何理解最后一個等式？$A(V\mathbf{a})$ 是變換矩陣 $V$ 先把向量 $\mathbf{a}$ 變換為向量 $\mathbf{x}$ ，然后變換矩陣 $A$ 把向量 $\mathbf{x}$ 變換為向量 $\mathbf{y}$ ；$W\mathbf{a}$ 是變換矩陣 $W$ 把向量 $\mathbf{a}$ 變換為向量 $\mathbf{y}$ ，等式對任意向量 $\mathbf{a}$ 均成立！這表明矩陣 $A,V$ 兩次變換的總效果和矩陣 $W$ 一次變換效果一樣。從變換角度看，矩陣 $W$ 與矩陣 $A,V$ 等價。形式上 $A(V\mathbf{a})$ 類似代數乘法，故定義為矩陣乘法。根據基變換關系，積矩陣 $W$ 的每個向量為 $({\mathbf{w}}_1=A{\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{w}}_{\mathbf{n}}=A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 。

定義 矩陣乘法 任意矩陣 $A$ 乘以基矩陣 $V$ ，$AV=\left[A{\mathbf{v}}_1,?,A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\right]=W$ ，其中向量 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}$ 為基矩陣 $V$ 的第 $i$ 個向量。

幾何意義是，積矩陣 $W$ 、矩陣 $AV$ 對任意向量的變換相等。

重要性質 $A(V\mathbf{a})=W\mathbf{a}=(AV)\mathbf{a}$ 。

兩個矩陣相乘，必須滿足形狀要求，因為矩陣乘以向量，要求向量維度等于矩陣的列數，所以矩陣 $A_{mn}$ 與矩陣 $V_{nn}$ 相乘，矩陣 $A$ 的列數（$n$）必須等于矩陣 $V$ 的行數（$n$），積矩陣的尺寸為 $W_{mn}$ 。

矩陣乘法，還可以從矩陣乘以向量角度觀察，$AV=A\left[{\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\right]=\left[A{\mathbf{v}}_1,?,A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\right]$ ，即矩陣 $A$ 乘以基矩陣 $V$ 每個向量，這種看法有助于記憶矩陣乘法，和化簡矩陣乘法有關的表達式。

重要性質 $AV=A\left[{\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\right]=\left[A{\mathbf{v}}_1,?,A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\right]$ .

上面定義矩陣乘法，要求矩陣 $V$ 為基矩陣，如果是任意向量組構成的矩陣，怎么定義矩陣乘法呢？有兩種方法，結果相同。

第一種方法方便記憶，就是對基矩陣乘法的推廣，利用 $AV=A\left[{\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\right]=\left[A{\mathbf{v}}_1,?,A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\right]$ ，把向量 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}$ 看成任意向量，數量也任意。

第二種方法，和基矩陣看法一樣，即把矩陣 $B$ 的向量組看成空間的生成向量。令變換矩陣 $A_{mn}$ 把 $n$ 維空間中向量組 $B_{np}=({\mathbf{b}}_1,?,{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}})$ ，變換為 $m$ 維空間中 $p$ 個向量 $({\mathbf{w}}_1=A{\mathbf{b}}_1,?,{\mathbf{w}}_{\mathbf{p}}=A{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}})$ ，則向量組 $B_{np}$ 張開的子空間中任意向量 $a_1{\mathbf{b}}_1+?+a_p{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}$ ，矩陣 $A_{mn}$ 把其變換為 $m$ 維空間的向量
$$\begin{gathered} A(B\mathbf{a})=A(a_1{\mathbf{b}}_1+?+a_p{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}})=a_{1}A{\mathbf{b}}_1+?+a_{p}A{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}} \\ =a_1{\mathbf{w}}_1+?+a_p{\mathbf{w}}_{\mathbf{p}} \\ =W\mathbf{a} \\ 得W=AB=\left[A{\mathbf{b}}_1,?,A{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}\right] \end{gathered}$$

定義 矩陣乘法 任意矩陣 $A$ 乘以任意矩陣 $B$ ，$AB=\left[A{\mathbf{b}}_1,?,A{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}\right]$ ，其中向量 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$ 為矩陣 $B$ 的第 $i$ 個向量。

即矩陣 $A$ 乘以矩陣 $B$ 每個向量。

重要性質 任意兩個矩陣相乘，必須滿足形狀要求，因為矩陣乘以向量，要求向量維度等于矩陣的列數，所以矩陣 $A_{mn}$ 與矩陣 $B_{np}$ 相乘，矩陣 $A$ 的列數（$n$）必須等于矩陣 $B$ 的行數（$n$），積矩陣的尺寸為 $W_{mp}$ 。

定義 方陣 矩陣的行數等于列數時，矩陣稱為方陣。

定義 $n$ 階方陣 行數為 $n$ 的方陣。

重要性質 矩陣自身相乘時，根據形狀要求，矩陣 $A$ 必須為方陣，即 $A_{nn}{A}_{nn}=B_{nn}$ 。

例如：
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 5& 7\end{array}\right] \\ A{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0?4+2?5\\ 1?4+3?5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10\\ 19\end{array}\right] \\ A{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}6\\ 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0?6+2?7\\ 1?6+3?7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}14\\ 27\end{array}\right] \\ AB=\left[A{\mathbf{b}}_1,A{\mathbf{b}}_2\right]=\left[\begin{array}{cc}10& 14\\ 19& 27\end{array}\right] \end{gathered}$$
可見，矩陣乘法運算量很大，小型（$m,n<4$）矩陣還勉強可以手算。矩陣運算基本都靠計算機，讀者工作中千萬不要手算，慢且極容易出錯。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.4 矩阵乘以矩阵定义的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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