乘法規(guī)則

根據(jù)定義，很容易驗證矩陣乘法滿足分配律
$$\begin{gathered} A(B+C)=AB+AC \\ (A+B)C=AB+BC \end{gathered}$$

證第一個式子
$$\begin{gathered} A(B+C)=A\left[{\mathbf{b}}_1+{\mathbf{c}}_1,?,{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}+{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}}\right] \\ =\left[A({\mathbf{b}}_1+{\mathbf{c}}_1),?,A({\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}+{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}})\right] \\ =\left[A{\mathbf{b}}_1+A{\mathbf{c}}_1,?,A{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}+A{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}}\right] \\ =\left[A{\mathbf{b}}_1,?,A{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}\right]+\left[A{\mathbf{c}}_1,?,A{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}}\right] \\ =AB+AC \end{gathered}$$
矩陣乘法滿足結(jié)合律
$$A(BC)=(AB)C$$
證：根據(jù) $A(B\mathbf{c})=(AB)\mathbf{c}$ ，令向量 $\mathbf{c}$ 為矩陣 $C$ 的每個向量得，
$$\begin{gathered} A(B{\mathbf{c}}_1)=(AB){\mathbf{c}}_1 \\ ? \\ A(B{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}})=(AB){\mathbf{c}}_{\mathbf{p}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (AB)C=(AB)\left[{\mathbf{c}}_1,?,{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}}\right] \\ =\left[(AB){\mathbf{c}}_1,?,(AB){\mathbf{c}}_{\mathbf{p}}\right] \\ =\left[A(B{\mathbf{c}}_1),?,A(B{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}})\right] \\ =A\left[B{\mathbf{c}}_1,?,B{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}}\right] \\ =A(B\left[{\mathbf{c}}_1,?,{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}}\right]) \\ =A(BC) \end{gathered}$$

矩陣數(shù)乘滿足交換律
$$\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$$
矩陣這些運(yùn)算規(guī)則和實數(shù)運(yùn)算規(guī)則一樣，所以涉及矩陣加法、數(shù)乘、分配率和結(jié)合律時，可以把矩陣當(dāng)作實數(shù)來化簡表達(dá)式，只要滿足形狀要求。

交換律：不滿足

實數(shù)乘法滿足交換律，即 $ab=ba$ 。但矩陣乘法不滿足交換律，即一般來說 $AB=BA$ ，只有特殊矩陣才滿足交換律。這是矩陣最特殊的地方，也是最容易出錯的地方！比如計算
$$\begin{gathered} (A+B)(A+B)=(A+B)A+(A+B)B=(AA+BA)+(AB+BB) \\ =AA+BB+AB+BA \\ =AA+BB+2AB \\ =AA+BB+2BA \end{gathered}$$
所以在計算矩陣乘法時，一定要嚴(yán)格按照矩陣順序來，不要隨便改變矩陣位置！

首先，$AB$ 和 $BA$ 要能相乘，必須滿足形狀要求，則 $A_{mn}$ $B_{nm}$ ；乘積相等，要求 $m=n$ ，故 $A$ ，$B$ 為同型方陣。

其次，即使為同型方陣， $AB=\left[A{\mathbf{b}}_1,?,A{\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}\right]$ 和 $BA=\left[B{\mathbf{a}}_1,?,B{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\right]$ ，向量 $A{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$ 是向量組 $A$ 的線性組合，向量 $B{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}$ 是向量組 $B$ 的線性組合，完全是不同的線性組合，故一般不會相等。

定義 方陣可交換 對于兩個 $n$ 階方陣 $A,B$ ，若 $AB=BA$ ，則稱方陣 $A$ 與 $B$ 是可交換的。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2.5 矩阵乘法规则的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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