重要特例

$A_{mn}$ ， $B_{np}$ 兩個矩陣相乘，當 $m,n,p$ 有的為 $1$ 時，是極其重要的特例，具有重要意義。

定義 列向量 列數為 $1$ 的矩陣，就是向量，記為 $\mathbf{v}$ 。

定義 行向量 行數為 $1$ 的矩陣，記為 ${\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}$ ，$\mathbf{v}$ 是個列向量。

為了不引起混亂，本書統一規定向量就是列向量。向量看作矩陣時，用 $\left[\right]$ 圍起數。行向量全部寫為矩陣形式，數值排成一行，中間用空格隔開。列向量一般寫為向量形式，用 $()$ 圍起數，中間用 $，$ 隔開；寫成矩陣形式時，數值排成一列。

例如，向量 $\mathbf{v}$ 是列向量 $\mathbf{v}=?\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}?=(1,2,3)$ ，行向量 ${\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}=\left[123\right]$ 。行向量是列向量逆時針旋轉90度，列向量是行向量順時針旋轉90度，所以 $({\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}{)}^{\mathbf{T}}=\mathbf{v}$ ，一定要搞清楚行向量符號的意義和書寫規范。

行向量是 $1$ 維空間中 $n$ 個向量，列向量是 $m$ 維空間中 $1$ 個向量，這是最本質的區別。寫法只是形式上的。

行列向量都是矩陣，只要滿足形狀要求，就可以相乘。

$p=1$ 時，矩陣 $B$ 是列向量，矩陣相乘就是矩陣乘以向量， 記為 $A\mathbf{x}$ 。

$m=p=1$ 時，矩陣 $A$ 是行向量，矩陣 $B$ 是列向量，矩陣乘法就是矩陣 $A$ 的 $1$ 維空間中 $n$ 個向量的線性組合，例如 $A=\left[123\right]$ 和 $B=?\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}?$ ， $AB=\left[1?4+2?5+3?6\right]=\left[32\right]=32$ ，$AB$ 是兩個向量的內積！用行列向量記為 ${\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}\mathbf{u}=(\mathbf{v},\mathbf{u})=(\mathbf{u},\mathbf{v})={\mathbf{u}}^{\mathbf{T}}\mathbf{v}$ 。內積寫為矩陣相乘，可以參與矩陣運算，后面章節，內積都寫成矩陣相乘。

$m=1$ 時，矩陣 $A$ 是行向量，假設 $n=p=2$ ， $A=\left[a_1{a}_2\right]$ ，$B=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]$ ，則 $AB=\left[a_1{a}_2\right]\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_1{b}_{11}+a_2{b}_{21}& a_1{b}_{12}+a_2{b}_{22}\end{array}\right]$ 。矩陣 $A$ 的第 $i$ 個分量與矩陣 $B$ 的第 $i$ 行向量數乘得到行向量，然后得到的 $n$ 個行向量相加，即 $AB$ 是矩陣 $B$ 行向量的線性組合，組合系數是矩陣 $A$ ！注意矩陣 $A$ 是行向量，不是列向量。用行向量記為 ${\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}B={\mathbf{u}}^{\mathbf{T}}$ ，結果是行向量。矩陣乘以向量是矩陣的列向量線性組合，行向量乘以矩陣是矩陣行向量的線性組合，對稱的！可見矩陣的行向量也具有重要意義。

$n=1$ 時，矩陣 $A$ 是列向量，矩陣 $B$ 是行向量，乘積是矩陣，不是數，一定要與 $2$ 區分。例如 $A=?\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}?$ ， $B=\left[23\right]$ ， $AB=?\begin{array}{cc}4?2& 4?3\\ 5?2& 5?3\\ 6?2& 6?3\end{array}?$ 。用行列向量記為 $\mathbf{u}{\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}$ ，稱為外積，一般來說 $\mathbf{u}{\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}=\mathbf{v}{\mathbf{u}}^{\mathbf{T}}$ 。外積與內積相對，內積是行向量乘以列向量，外積是列向量乘以行向量，內積 ${\mathbf{u}}^{\mathbf{T}}\mathbf{v}$ 的符號 $T$ 在內部，外積 $\mathbf{u}{\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}$ 的符號 $T$ 在外部，這就是內積外積名稱的由來。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.6 矩阵乘法重要特例的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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