矩陣零空間

方程 $A\mathbf{x}=0$ 的解對于矩陣 $AB$ 是否會降秩很關鍵，當矩陣 $B$ 某個列向量是方程解時，則會降秩，否則不會。如果矩陣 $A$ 向量組是無關組，解只有 $0$ 向量，因為 $0$ 向量不能張開空間，故不會降秩。本節研究方程 $A\mathbf{x}=0$ 的解空間。

定義 矩陣 $A_{mn}$ 零空間 方程 $A\mathbf{x}=0$ 所有解向量的集合，也稱解空間，是 $n$ 維子空間。 記為 $nullA=\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=0\}$ 。

矩陣零空間就是使矩陣變換為零向量的向量空間。

矩陣零空間是線性空間，滿足線性空間兩個要求，即數乘和相加的封閉性。假設方程 $A\mathbf{x}=0$ 成立，則 $A\lambda \mathbf{x}=0$ 成立。假設方程 $A{\mathbf{x}}_1=0$ 成立和 $A{\mathbf{x}}_2=0$ 成立，則 $A({\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2)=0$ 成立。

矩陣零空間還可以換個角度看，矩陣 $A$ 寫成行向量分塊形式，則 $A\mathbf{x}=?\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}1}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}2}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}\\ ?\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}\mathbf{m}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}\end{array}?=0$ ，該式的幾何圖像是：向量 $\mathbf{x}$ 與矩陣 $A$ 的行向量組垂直，即向量 $\mathbf{x}$ 垂直矩陣 $A_{mn}$ 行空間，第一章介紹了空間正交分解和空間的正交補空間，矩陣零空間就是矩陣行空間的正交補空間！它們都是 $n$ 維空間的子空間，根據正交補空間的維度關系，得到重要結果。

重要性質 矩陣 $A_{mn}$ 行空間的正交補空間是矩陣零空間，$dim(nullA)+dim(rowA)=n$ ，或 $rank(nullA)+rankA=n$ 。

該性質還可從向量組線性組合理論方面觀察。令矩陣 $A_{mn}$ 的列向量組為 $({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}})$ ，不妨令其前 $r＝rankA$ 個向量組為極大無關組 $({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}})$ ，則方程 $A\mathbf{x}=0$ 解為：
$$x_1{\mathbf{a}}_1+?+x_r{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}+x_{r+1}{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}+1}+?+x_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=0$$

則
$$x_1{\mathbf{a}}_1+?+x_r{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}=?(x_{r+1}{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}+1}+?+x_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}})$$

因為 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}$ 是極大無關組，所以 $(x_{r+1},?,x_n)$ 取任意值時，方程均有解，解向量 $\mathbf{x}$ 有 $n?r$ 個自由分量，所以其張成空間維度為 $n?r$ 。

由該性質可直接得到如下結論。

重要性質 若 $A_{mn}{B}_{np}=\mathbf{O}$ ，則 $rankA+rankB\le n$ 。

重要性質 若 $A_{mn},B_{m^{\prime }n}$ 是同解方程，即零空間相同，則 $rankA＝rankB$ 。

因為方程零空間相同，所以 $rank(nullA)=rank(nullB)$ ，又 $rankA＝n?rank(nullA),rankB＝n?rank(nullB)$ ，所以 $rankA＝rankB$ 。

總結

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