矩陣 $A,A^T,A^{T}A,A{A}^T$ 秩相等，左逆和右逆

令 $r=rankA$ ，因為零空間秩為 $n?r$ ，零空間是矩陣行空間的正交補空間，矩陣 $A^T$ 列空間就是矩陣 $A$ 行空間，故 $rank{A}^T=n?rank(nullA)=r$ 。

方程 $A^{T}A\mathbf{x}=0$ 和 $A\mathbf{x}=0$ 是同解方程。證明如下：如果向量 $\mathbf{x}$是方程 $A\mathbf{x}=0$ 解，則顯然是方程 $A^{T}A\mathbf{x}=0$ 解。如果向量 $\mathbf{x}$是方程 $A^{T}A\mathbf{x}=0$ 解，則 ${\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}{A}^{T}A\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}0=0$ 得 $(A\mathbf{x}{)}^T(A\mathbf{x})=0$ 得 $\Vert A\mathbf{x}\Vert =0$ 故 $A\mathbf{x}=0$ ，兩個方程同解，則 $rankA=rank{A}^{T}A$ 。

同理可證 $rank{A}^T=rank(A^T{)}^T{A}^T=rankA{A}^T$ 。

重要性質 $rankA=rank{A}^T=rank{A}^{T}A=rankA{A}^T$ 。

矩陣相乘，秩會減小，所以 $rank{A}^{T}A\le rankA$ ，但矩陣 $A$ 可以是任意矩陣，不需是列滿秩矩陣而 $rank{A}^{T}A=rankA$ ，這說明矩陣 $A$ 的列向量不位于矩陣 $A^T$ 零空間，可以證明 $A^T{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}$ 不可能為零向量。$A^T{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}=?\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1^{\mathbf{T}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\\ ?\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\\ ?\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\end{array}?=0$ ，因為 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}>0$ 。

直接得到如下推論。

重要性質 矩陣 $A$ 是列滿秩矩陣時，$rankA=n$ ，$n$ 階方陣 $rank{A}^{T}A=n$ 是可逆矩陣。

重要性質 矩陣 $A$ 是列滿秩矩陣時，因為 $(A^{T}A{)}^{?1}{A}^{T}A=E_n$ ，稱矩陣 $(A^{T}A{)}^{?1}{A}^T$ 是矩陣 $A$ 的左逆，記為 $A_L^{?1}$

因為矩陣 $A_L^{?1}$ 左乘矩陣 $A$ 等于單位矩陣，故稱左逆。

重要性質 矩陣 $A$ 是列滿秩矩陣時，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解可表示為 $\mathbf{x}=A_L^{?1}\mathbf{b}$ ，即著名的最小二乘解。

重要性質 矩陣 $A$ 是行滿秩矩陣時，$rankA=m$ ，$m$ 階方陣 $rankA{A}^T=m$ 是可逆矩陣。

重要性質 矩陣 $A$ 是行滿秩矩陣時，因為 $A{A}^T(A{A}^T{)}^{?1}=E_m$ ，稱矩陣 $A^T(A{A}^T{)}^{?1}$ 是矩陣 $A$ 的右逆，記為 $A_R^{?1}$

因為矩陣 $A_R^{?1}$ 右乘矩陣 $A$ 等于單位矩陣，故稱右逆。

重要性質 矩陣 $A$ 是行滿秩矩陣時，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解可表示為 $\mathbf{x}=A_R^{?1}\mathbf{b}$ ，即著名的最小范數解。

當矩陣 $A$ 是滿秩矩陣時， $A^{?1}$ 是矩陣的逆。

讀者會猜測，當矩陣 $A$ 是行列均不滿秩矩陣時，應該也存在“逆”，此“逆”稱為偽逆，記為 $A^{+}$ ，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解可表示為 $\mathbf{x}=A^{+}\mathbf{b}$ ，即著名的最小范數最小二乘解。后面章節會詳細解釋這些概念。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的3.4 矩阵 $A,A^T,A^TA,AA^T$ 秩相等，左逆和右逆的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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