矩陣 $4$ 個空間和方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 的關系

已經介紹了矩陣 $A$ 的 $3$ 個空間，列空間 $\{A\mathbf{v}\}$ ：矩陣列向量組張成的空間；行空間 $\{A^T\mathbf{u}\}$：矩陣行向量組張成的空間；零空間 $\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=0\}$ ：行空間的正交補空間。那必然存在列空間的正交補空間，稱為左零空間 $\{\mathbf{x}:A^T\mathbf{x}=0\}$ 。

因為 $A^T\mathbf{x}=?\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1^{\mathbf{T}}\mathbf{x}\\ {\mathbf{a}}_2^{\mathbf{T}}\mathbf{x}\\ ?\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}\end{array}?=0$ ，該式的幾何圖像是：向量 $\mathbf{x}$ 與矩陣 $A$ 列向量組垂直，即向量 $\mathbf{x}$ 垂直矩陣 $A_{mn}$ 列空間，第一章介紹了空間正交分解和空間的正交補空間，矩陣左零空間就是矩陣列空間的正交補空間！

定義 矩陣 $A_{mn}$ 左零空間 矩陣列空間的正交補空間 $\{\mathbf{x}:A^T\mathbf{x}=0\}$ ，是 $m$ 維子空間，左零空間維度為 $m?r$ ，與列空間垂直。記為 $LnullA=\{\mathbf{x}:A^T\mathbf{x}=0\}$ 。

方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 值域為 $m$ 維子空間。矩陣 $4$ 個空間中，列空間和左零空間是 $m$ 維子空間，且是空間的正交分解，列空間是方程值域（值空間），左零空間是列空間的正交補空間，即 $n$ 維空間中不存在向量 $\mathbf{x}$ 能使 $A\mathbf{x}$ 是左零空間的非零向量。

方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 定義域為 $n$ 維子空間。矩陣 $4$ 個空間中，行空間和零空間是 $n$ 維子空間，且是空間的正交分解。零空間是方程 $A\mathbf{x}=0$ 解空間，則不位于零空間的任意非零向量 $\mathbf{x}$ ，向量 $A\mathbf{x}$ 必不等于零向量，因為行空間是零空間的正交補空間，所以行空間是方程的非零解空間。非零解空間是方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{y},\mathbf{y}=0$ 的解空間。

重要性質 行空間是方程的非零解空間，列空間是方程的值空間，它們維度均為 $rankA$ ，這兩個空間內函數 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 是一一映射！

證：該映射顯然是滿射，因為列空間定義為 $\{A\mathbf{v}\}$ ，則列空間中任意向量都對應行空間中向量 $\mathbf{v}$ 。

假設不是單射，則令兩個位于非零解空間的不同向量 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$ ，它們映射到同一向量 $\mathbf{y}$ ，即 $A{\mathbf{x}}_1=\mathbf{y}$ 和 $A{\mathbf{x}}_2=\mathbf{y}$ ，則 $A({\mathbf{x}}_1?{\mathbf{x}}_2)=\mathbf{y}?\mathbf{y}=0$ ，即向量 $({\mathbf{x}}_1?{\mathbf{x}}_2)$ 位于零空間。又根據假設，${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$ 位于非零解空間，則它們的線性組合也位于非零空間，即向量 $({\mathbf{x}}_1?{\mathbf{x}}_2)$ 位于非零解空間。向量 $({\mathbf{x}}_1?{\mathbf{x}}_2)$ 同時位于非零解空間和零解空間，這兩個空間又是正交互補的，只有這個向量是零向量，所以 ${\mathbf{x}}_1?{\mathbf{x}}_2=0$ ，與假設矛盾，故映射是單射。

行空間和列空間內函數 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 是一一映射，則存在唯一逆映射，逆映射對應矩陣即是矩陣 $A$ 的偽逆。根據該性質計算偽逆是線性代數最波瀾壯闊的圖像，本書后面章節會詳細介紹。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的3.5 矩阵 $4$ 个空间和方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 的关系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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