4.1 简单方程的解
前面章節介紹了向量組和矩陣理論，利用這些理論可以解決線性方程 Amnx=bA_{mn}\mathbf{x}=\mathbf{b}Amn?x=b 解的存在性和唯一性問題。向量組理論如下：向量 b\mathbf{b}b 能被矩陣 AAA 向量組表示時，則存在解，否則不存在解。矩陣 AAA 向量組的極大無關組是基時，必存在解。存在解時，如果矩陣 AAA 向量組是無關組，則解唯一，否則解無窮多。矩陣理論如下：rank(A,b)=rankArank (A,\mathbf{b})=rank Arank(A,b)=rankA 時存在解，否則不存在解。rankA=mrank A = mrankA=m 必存在解。存在解時，如果 rankA=nrank A=nrankA=n 解唯一，否則解無窮多。
雖然理論上完美地解決了方程解的存在性和唯一性問題，但實際中，如何計算出解，求矩陣的秩，得到向量組的極大無關組等具體問題，都需要通過算法得到，高斯消元法即是這樣的算法，能解決這些具體問題。
4.1 簡單方程的解
先以大家最熟悉的可逆方陣介紹方程的解，此時解存在且唯一。方程 Annx=bA_{nn}\mathbf{x}=\mathbf{b}Ann?x=b 按矩陣運算規則展開，即可得熟悉的 nnn 元一次方程。
Ax=[a11a12?a1na21a22?a2n?an1an2?ann][x1x2?xn]=[a11x1+a12x2+?+a1nxna21x1+a22x2+?+a2nxn?an1x1+an2x2+?+annxn]=[b1b2?bn]A\mathbf{x}= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n\\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right] Ax=??????a11?a21??an1??a12?a22?an2??????a1n?a2n?ann??????????????x1?x2??xn????????=??????a11?x1?+a12?x2?+?+a1n?xn?a21?x1?+a22?x2?+?+a2n?xn??an1?x1?+an2?x2?+?+ann?xn????????=??????b1?b2??bn????????
得 nnn 元一次方程：
[a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1a21x1+a22x2+?+a2nxn=b2?an1x1+an2x2+?+annxn=bn]\left[ \begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n=b_2\\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n=b_n \end{matrix} \right] ??????a11?x1?+a12?x2?+?+a1n?xn?=b1?a21?x1?+a22?x2?+?+a2n?xn?=b2??an1?x1?+an2?x2?+?+ann?xn?=bn????????
上述記號中矩陣 A=[aij]A=[ a_{ij}]A=[aij?] 其中 aija_{ij}aij? 是矩陣第 iii 行第 jjj 列的元素。
一般來說，當矩陣 AAA 是任意的，方程解 x\mathbf{x}x 與 AAA 和 b\mathbf{b}b 的數值關系十分復雜，但是 AAA 是特殊矩陣時，很容易得到解。前面已經介紹了三種特殊矩陣，單位陣、對角陣和正交矩陣都十分容易得到解。
單位陣時，方程 Ex=bE\mathbf{x}=\mathbf{b}Ex=b ，解就是向量 b\mathbf{b}b ，即 x=b\mathbf{x}=\mathbf{b}x=b ，是最簡單的情況。
對角陣時， D=diag(d1,d2,...,dn)D =diag(d_1,d_2,...,d_n)D=diag(d1?,d2?,...,dn?) ，當對角線元素都不等于0時，對角矩陣可逆，逆為：D?1=diag(1d1,1d2,...,1dn)D^{-1} =diag(\frac{1}{d_1},\frac{1}{d_2},...,\frac{1}{d_n})D?1=diag(d1?1?,d2?1?,...,dn?1?) ，則方程 Dx=bD\mathbf{x}=\mathbf{b}Dx=b 解為 x=D?1b\mathbf{x}=D^{-1}\mathbf{b}x=D?1b 即 xi=bi/dix_i = b_i/d_ixi?=bi?/di? 是次最簡單的情況。
正交矩陣時，方程 Qx=bQ\mathbf{x}=\mathbf{b}Qx=b 解為 x=QTb\mathbf{x}=Q^T\mathbf{b}x=QTb 是較簡單的情況。
還有一種比較簡單的情況，矩陣為三角矩陣：上三角矩陣 UUU 和下三角矩陣 LLL。
定義 上三角矩陣 UUU 是對角線左下角元素都是 000 ，即 aij=0,i>ja_{ij}=0, i>jaij?=0,i>j ，非零元素都在矩陣右上角。下三角矩陣 LLL 是對角線右上角元素都是0，即 aij=0,i<ja_{ij}=0, i < jaij?=0,i<j ，非零元素都在矩陣左下角。
U=[123045006]，L=[100240356]，A=[110240356]。U = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 6 \end{matrix} \right]， L = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 4 & 0\\ 3 & 5 & 6 \end{matrix} \right]， A = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 0\\ 3 & 5 & 6 \end{matrix} \right]。 U=???100?240?356????，L=???123?045?006????，A=???123?145?006????。
上面矩陣 AAA 不是三角陣。注意，上三角矩陣右上角元素也可以為 000 。
三角矩陣能快速求得方程的解，以上三角矩陣為例，此時方程為：
[a11x1+a12x2+?+a1nxn=b10x1+a22x2+?+a2nxn=b2?0x1+0x2+?+annxn=bn]\left[ \begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n=b_1\\ 0x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n=b_2\\ \vdots \\ 0x_1 + 0x_2 + \cdots + a_{nn}x_n=b_n \end{matrix} \right] ??????a11?x1?+a12?x2?+?+a1n?xn?=b1?0x1?+a22?x2?+?+a2n?xn?=b2??0x1?+0x2?+?+ann?xn?=bn????????
根據最后一個方程，可得 xn=bn/annx_n=b_n/a_{nn}xn?=bn?/ann? ，根據倒數第二個方程 0x1+0x2+?+an?1,n?1xn?1+an?1,nxn=bn?10x_1 + 0x_2 + \cdots + a_{n-1,n-1}x_{n-1} + a_{n-1,n}x_n=b_{n-1}0x1?+0x2?+?+an?1,n?1?xn?1?+an?1,n?xn?=bn?1? 可得 xn?1=(bn?1?an?1,nxn)/an?1,n?1x_{n-1}=(b_{n-1} - a_{n-1,n}x_n)/a_{n-1,n-1}xn?1?=(bn?1??an?1,n?xn?)/an?1,n?1? ，同理，按倒推法，可得倒數第 i+1i+1i+1 個方程的解為
xn?i=(bn?i?∑j=i+1nan?i,jxj)/an?i,n?ix_{n-i}=(b_{n-i} - \sum^n_{j=i+1} a_{n-i,j}x_j)/a_{n-i,n-i} xn?i?=(bn?i??j=i+1∑n?an?i,j?xj?)/an?i,n?i?
同理，下三角矩陣用同樣方法可求得解，只是不需要倒推，而是順推。由于我們習慣上三角矩陣，所以后面只以上三角矩陣為例。根據公式 (5)(5)(5) ，每個解分量需要除以對角線元素 aiia_{ii}aii? ，只要其不為零，則方程必有解且唯一。
重要性質 三角矩陣對角線元素 aiia_{ii}aii? 均不等于 000 ，則方程存在解且唯一，三角矩陣可逆。
重要性質 上三角矩陣的逆矩陣是上三角矩陣。
證：令上三角矩陣為 U=[aij],aij=0,i>jU=[ a_{ij}],a_{ij}=0, i>jU=[aij?],aij?=0,i>j ，其逆矩陣為 U?1=[bij]U^{-1}=[ b_{ij}]U?1=[bij?] 。即 bij=0,i>jb_{ij}=0, i>jbij?=0,i>j 。根據 UU?1=EUU^{-1} = EUU?1=E ，E=[eij],eij=1,i=j;0,i≠jE=[ e_{ij}], e_{ij}=1,i=j;0,i \ne jE=[eij?],eij?=1,i=j;0,i?=j 根據矩陣乘法第 444 種計算方式，即矩陣 UUU 第 iii 行向量和矩陣 U?1U^{-1}U?1 第 jjj 列向量的內積為 (i,j)(i,j)(i,j) 元素
ai1b1j+ai2b2j+?+ainbnj=eija_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=e_{ij} ai1?b1j?+ai2?b2j?+?+ain?bnj?=eij?
令 i=n,j<ii=n,j < ii=n,j<i 根據 aij=0,i>ja_{ij}=0, i>jaij?=0,i>j ，得 0b1j+0b2j+?+annbnj=00b_{1j}+0b_{2j}+\cdots+a_{nn}b_{nj}=00b1j?+0b2j?+?+ann?bnj?=0 得 bnj=0b_{nj}=0bnj?=0 ，即逆矩陣最后一行均為 000 ，除了對角線元素外。同理令 i=n?1,j<ii=n-1,j < ii=n?1,j<i 根據 aij=0,i>ja_{ij}=0, i>jaij?=0,i>j ，得 0b1j+0b2j+?+an?1,n?1bn?1,j+an?1,nbnj=00b_{1j}+0b_{2j}+\cdots+a_{n-1,n-1}b_{n-1,j}+a_{n-1,n}b_{nj}=00b1j?+0b2j?+?+an?1,n?1?bn?1,j?+an?1,n?bnj?=0 得 bn?1,j=0b_{n-1,j}=0bn?1,j?=0 ，即逆矩陣倒數第二行前 n?2n-2n?2 個元素均為 000 。依次類推，可得逆矩陣倒數第 iii 行前 n?in-in?i 個元素均為 000 。
這個性質很好，上三角矩陣左下角 000 元素，逆矩陣對應位置也是 000 元素， 000 元素保持了位置不變。但必須指出，上三角矩陣右上角 000 元素，逆矩陣對應位置一般不是 000 元素。
逆矩陣元素可采用待定系數法快速方便地計算，讀者可自行推導。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的4.1 简单方程的解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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