4.2 矩陣分解概念

對(duì)任意可逆方陣 $A$ ，如果能保證解不變，將其變換為上三角陣，則就能方便求得方程解。如何保證解不變呢？

重要性質(zhì) 對(duì)任意可逆矩陣 $P$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 和方程 $PA\mathbf{x}=P\mathbf{b}$ 有相同解。

該性質(zhì)是解方程的理論基礎(chǔ)。證明很簡(jiǎn)單：假設(shè) $\mathbf{x}$ 是方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解，則方程兩邊左乘矩陣 $P$ ，即 $\mathbf{x}$ 是方程 $PA\mathbf{x}=P\mathbf{b}$ 的解；假設(shè) $\mathbf{x}$ 是方程 $PA\mathbf{x}=P\mathbf{b}$ 的解，則方程兩邊左乘逆矩陣 $P^{?1}$ ，即 $\mathbf{x}$ 是方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解。

對(duì)任意可逆矩陣 $A$ ，如果選擇合適的可逆矩陣 $P$，使 $PA=U$ 成立，則方程解為
$$\begin{gathered} PA\mathbf{x}=P\mathbf{b},U\mathbf{x}=P\mathbf{b} \\ \mathbf{x}=U^{?1}P\mathbf{b} \end{gathered}$$

由 $PA=U$ 得 $A=P^{?1}U$ 稱為矩陣分解，即矩陣分解為兩個(gè)矩陣的乘積，類似實(shí)數(shù)的素?cái)?shù)分解。

定義 矩陣分解 矩陣分解為若干個(gè)”簡(jiǎn)單“矩陣的乘積，一般是2到3個(gè)。簡(jiǎn)單矩陣一般是，對(duì)角陣，正交陣，三角陣等。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的4.2 矩阵分解概念的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。