當前位置：首頁 > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

4.4 高斯消元法的矩阵表示

發布時間：2023/12/20 编程问答 35 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 4.4 高斯消元法的矩阵表示小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

4.4 高斯消元法的矩陣表示

高斯消元法的原子操作為：方程 $j$ 乘以 $a_{i,j}/a_{jj},i>j$ ，加到方程 $i$ ，使 $a_{i,j}$ 為 $0$ ，令 $l_{ij}=a_{i,j}/a_{jj}$ ，稱該操作為消元操作， $l_{ij}$ 為乘子。矩陣 $A$ 的任意列向量 $ap=(a1p,a2p,?,aip,?,anp)\mathbf{a_p}=(a_{1p},a_{2p},\cdots,a_{ip},\cdots,a_{np})$ 經過該操作后，變換為 $ap′=(a1p,a2p,?,aip?lijajp,?,anp)\mathbf{a'_p}=(a_{1p},a_{2p},\cdots,a_{ip}-l_{ij}a_{jp},\cdots,a_{np})$ ，只有第 $i$ 分量加了個數，其它分量不變。消元操作把一個向量變換為另一個向量，是線性可逆變換，能用可逆矩陣表示，矩陣為
$Eij=[10?0?0?001?0?0?0?0??lij?1?0?0?0?00?0?1?000?0?0?1]E_{ij}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \cdots 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \cdots 0\\ \vdots \\ 0 & \cdots & -l_{ij} & \cdots 1 \cdots & 0 \cdots & 0 \cdots 0\\ \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &0 & \cdots & 1 \cdots 0 \\ 0 & 0 & \cdots &0 & \cdots & 0 \cdots 1 \\ \end{matrix} \right]$

定義消元矩陣矩陣 $E_{ij}$ 是單位矩陣 $E$ 的 $(i, j), i > j$ 元素為 $l_{ij}$ ，稱為消元矩陣， $Eijap=ap′E_{ij}\mathbf{a_p}=\mathbf{a'_p}$ ，是單位下三角陣。

第一階段用矩陣乘法表示為 $En1?E31E21AE_{n1} \cdots E_{31}E_{21}A$ 。

第二階段用矩陣乘法表示為 $(En2?E42E32)(En1?E31E21)A(E_{n2} \cdots E_{42}E_{32}) (E_{n1} \cdots E_{31}E_{21})A$ 。

最終矩陣 $A$ 經過一系列矩陣乘法變換為上三角陣， $(En,n?1)?(En2?E42E32)(En1?E31E21)A=U(E_{n,n-1}) \cdots (E_{n2} \cdots E_{42}E_{32}) (E_{n1} \cdots E_{31}E_{21})A=U$ 。因為矩陣 $E_{ij}$ 可逆，故乘以對應逆矩陣得 $(E^{-1}_{21} E^{-1}_{31} \cdots E^{-1}_{n1}) (E^{-1}_{32} E^{-1}_{42} \cdots E^{-1}_{n2}) \cdots (E^{-1}_{n,n-1})U=LU$ 。矩陣 $E_{ij}$ 的逆矩陣 $Eij?1E^{-1}_{ij}$ 是單位矩陣 $E$ 的 $(i, j), i > j$ 元素為 $l_{ij}$ ，經過計算可得矩陣 $L$ 是單位矩陣 $E$ 的任意 $(i, j), i > j$ 元素為 $l_{ij}$ ，對角線元素全為 $1$ ， $(i, j), i < j$ 元素為 $0$ ，是單位下三角陣，且對應位置保存了對應乘子 $l_{ij},i>j$ 。矩陣 $A$ 可逆，則上三角陣 $U$ 的對角線元素均不為 $0$ ，這兩個條件是等價的。

定義主元上三角陣 $U$ 的對角線元素稱為矩陣 $A$ 的主元。

重要性質 矩陣 $A$ 的主元均不為 $0$ 時，矩陣 $A$ 可逆。

例如上面矩陣 $A=[24?249?3?2?37]A=\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2\\ 4 & 9 & -3\\ -2 & -3 & 7 \end{matrix} \right]$ 的主元為 $2, 1, 4$ ； $L U$ 分解為
$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right]$

$L U$ 分解，不是很對稱，因為 $L$ 是單位下三角陣， $U$ 對角線是主元，不是 $1$ 。我們可以繼續對 $U$ 進行分解，把主元提取出來，使 $U$ 成為單位上三角陣。

$\left[ \begin{matrix} d_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 &d_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & u_{12}/d_1 & \cdots & u_{1n}/d_1\\ 0 & 1 & \cdots & u_{2n}/d_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{matrix} \right]$

重要性質 矩陣 $L D U$ 分解矩陣 $A$ 分解為單位下三角矩陣、對角陣和單位上三角矩陣的乘積， $A = L D U$ ， $D$ 對角線元素為矩陣主元。

例如上面矩陣的 $L D U$ 分解為
$\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2\\ 4 & 9 & -3\\ -2 & -3 & 7 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的4.4 高斯消元法的矩阵表示的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。