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编程问答

4.5 置换矩阵

發(fā)布時(shí)間：2023/12/20 编程问答 31 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 4.5 置换矩阵小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

4.5 置換矩陣

是不是任意可逆矩陣都可進(jìn)行 $L D U$ 分解呢？其實(shí)不能，消元操作需要除以對(duì)角元素 $a_{ii}$ ，當(dāng)其為 $0$ 時(shí)，則會(huì)失敗。這時(shí)可在下面行中選擇任一對(duì)角元素不為 $0$ 的行，對(duì)調(diào)這兩行，則可繼續(xù)消元。例如

$\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right]$

第一行第一個(gè)元素 $a_{11}$ 為 $0$ ，無(wú)法消除第二行第一列的非零元素。矩陣后面兩行中，第二行第一個(gè)元素 $a_{21}$ 非零，則對(duì)調(diào)這兩行，矩陣變換為
$[123002012]\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right]$

此時(shí)第一列元素除對(duì)角線外已經(jīng)都是 $0$ 。同理消除第二列時(shí)，第二行對(duì)角線元素為 $0$ ，此時(shí)也需要對(duì)調(diào)后兩行，矩陣變換為

$[123012002]\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right]$

成為上三角陣。

重要性質(zhì) 對(duì)任意可逆矩陣，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男袑?duì)調(diào)操作，可以分解為 $L D U$ 。

類(lèi)似消元操作，行對(duì)調(diào)操作也可以用矩陣乘法實(shí)現(xiàn)，該矩陣稱為置換矩陣。

定義置換矩陣矩陣 $P_{ij}$ 是單位矩陣 $E$ 對(duì)調(diào) $i, j$ 兩行所得。

例如
$P12=[010100001]P13=[001010100]P23=[100001010]P_{12}= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] P_{13}= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] P_{23}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right]$

矩陣 $A$ 列向量左乘置換矩陣 $P_{ij}$ 就是對(duì)調(diào)向量的 $i, j$ 兩個(gè)分量。
$Pijak=Pij(a1k,?,aik,?,ajk,?,amk)=(a1k,?,ajk,?,aik,?,amk)P_{ij}\mathbf{a}_k = P_{ij}(a_{1k},\cdots,a_{ik},\cdots,a_{jk},\cdots,a_{mk}) = (a_{1k},\cdots,a_{jk},\cdots,a_{ik},\cdots,a_{mk})$

$P_{ij}A$ 就是對(duì)調(diào)矩陣 $A$ 的 $(i, j)$ 兩行。

置換矩陣是正交矩陣， $P^TP=E$ 。對(duì)矩陣進(jìn)行多次行對(duì)調(diào)操作，就是多個(gè)置換矩陣連乘，記為 $P$ ， $P$ 是單位矩陣 $E$ 進(jìn)行相應(yīng)的多次行對(duì)調(diào)結(jié)果。

$P=P21P32=[001100010]P=P_{21}P_{32}= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right]$

重要性質(zhì) 對(duì)任意可逆矩陣 $A$ ，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男袑?duì)調(diào)操作 $P$ ，可以分解為 $P A = L D U$ 。

我們還可以換個(gè)角度看待 $P A = L D U$ ，由于各矩陣均可逆，得 $LDU)^{-1}PA = E$ ，令 $P'=(LDU)^{-1}P$ 則 $P^{'} A = E$ ，這說(shuō)明 $P^{'}$ 是逆矩陣 $A^{-1}$ 。通過(guò)高斯消元法可得到逆矩陣 $A^{-1}=U^{-1}D^{-1}L^{-1}P$ ，對(duì)角陣 $D$ 可逆，需對(duì)角元素均不為零，故矩陣 $A$ 主元均不為零時(shí)，矩陣 $A$ 可逆。

當(dāng)矩陣 $A$ 是對(duì)稱矩陣時(shí)，假設(shè)沒(méi)有行對(duì)調(diào)，則 $S = L D U$ ，取轉(zhuǎn)置， $S^T = (LDU)^T=U^TD^TL^T=U^TDL^T=S=LDU$ ，所以有 $L^T=U$ 成立。

重要性質(zhì) 對(duì)稱矩陣，假設(shè)沒(méi)有行對(duì)調(diào)，則可以分解為 $S = LDL^T$ 。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的4.5 置换矩阵的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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