我們直奔主題。

根據(jù)百度百科上的解釋：
如果后驗(yàn)分布與先驗(yàn)分布屬于同類（分布簇），則先驗(yàn)分布與后驗(yàn)分布被稱為共軛分布，而先驗(yàn)分布被稱為似然函數(shù)的共軛先驗(yàn)。

上面這個(gè)定義有點(diǎn)復(fù)雜，我們待會(huì)兒再回過頭來看這個(gè)定義

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$$P(\theta |x)=\frac{P(x|\theta )?P(\theta )}{\int P(x|{\theta }^{\prime })?P({\theta }^{\prime })d{\theta }^{\prime }}$$

$$\begin{gathered} =\frac{P(x|\theta )?P(\theta )}{P(x)} \\ (這種是書上常見的) \end{gathered}$$
$當(dāng)p來自二項(xiàng)分布中的B(n,p),且\theta =p時(shí)$
上式:
$$P(p|x)=\frac{P(x|p)?P(p)}{P(x)}①$$

一、

似然函數(shù)（二項(xiàng)分布）：
$P(x|p)=P(k|p)=P(X=k)=B(k:n,p)=C_n^k?p^k?(1?p{)}^{1?k}②$

二、

p的先驗(yàn)分布($\beta$分布),
$p$的先驗(yàn)分布假設(shè)為$\beta$分布，超參數(shù)為$\alpha ,\beta$
(為啥這么假設(shè)呢？就是為了剛好和共軛的分布湊一對(duì)兒，方便取名，這里的假設(shè)可以理解為“當(dāng)p的先驗(yàn)分布恰巧為β分布時(shí)”):
$$P(p)=P(p|\alpha ,\beta )=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{p}^{\alpha ?1}(1?p{)}^{\beta ?1}③$$
這個(gè)$P和p$可能看著有點(diǎn)暈哈，我稍微解釋下：
所謂的$\beta$分布,他是“描述概率分布的分布”，可以參考：
https://blog.csdn.net/a358463121/article/details/52562940

我們將②和③代入①中，得到：
$$\begin{gathered} P(p|x)=\frac{P(x|p)?P(p)}{P(x)} \\ x=k時(shí)， \\ P(p|k)=\frac{P(k|p)?P(p)}{P(k)} \\ =\frac{1}{P(k)}?C_n^k?p^k?(1?p{)}^{n?k}?\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{p}^{\alpha ?1}(1?p{)}^{\beta ?1} \\ =[\frac{1}{P(k)}?\frac{C_n^k}{B(\alpha ,\beta )}]?p^{k+\alpha ?1}?(1?p{)}^{n?k+\beta ?1} \\ =[\frac{1}{P(k)}?\frac{1}{B(\alpha +k,\beta +n?k)}]?p^{k+\alpha ?1}?(1?p{)}^{n?k+\beta ?1} \end{gathered}$$

到了這一步，我們回到最初的概念：

選取什么樣的先驗(yàn)分布 會(huì)讓后驗(yàn)分布與先驗(yàn)分布具有"相同的數(shù)學(xué)形式"
如果先驗(yàn)分布和似然函數(shù)可以使得先驗(yàn)分布和后驗(yàn)分布有相同的形式，那么就稱先驗(yàn)分布與似然函數(shù)是共軛的

說人話就是：
$P(p)$是啥分布時(shí)，根據(jù)①計(jì)算的得到的$P(p|x)$和$P(p)$長得很相似（長得相似的意思就是共軛）？
當(dāng)根據(jù)①計(jì)算的得到的$P(p|x)$和$P(p)$長得很相似時(shí)，那么：
（1）先驗(yàn)分布$P(p)$和$P(p|x)$被稱為共軛分布（即：互為共軛關(guān)系）
（2）先驗(yàn)分布$P(p)$被稱為似然函數(shù)$P(x|p)$的共軛先驗(yàn)。

下面這些概念到底啥意思？

共軛(conjugate)：啥意思？就是兩個(gè)東西長得很相似，取名叫共軛
A分布是B分布的共軛先驗(yàn)分布：啥意思？也就是說，這兩個(gè)分布互為共軛關(guān)系（講人話就是他們的模樣長得很像），A是B的共軛分布，B也是A的共軛分布。
由于A分布同時(shí)也是B分布的先驗(yàn)分布，所以A是B的“共軛、先驗(yàn)分布”
簡稱：“共軛先驗(yàn)分布”

共軛先驗(yàn)分布有啥用？

引用百度百科上的話：
共軛先驗(yàn)的好處：
主要在于代數(shù)上的方便性，可以直接給出后驗(yàn)分布的封閉形式，否則的話只能數(shù)值計(jì)算。共軛先驗(yàn)也有助于獲得關(guān)于似然函數(shù)如何更新先驗(yàn)分布的直觀印象。
上面的到底啥意思？說人話：
除非你要搞學(xué)術(shù)理論（和代數(shù)相關(guān)的理論），作報(bào)告，否則沒啥用。

因?yàn)楫?dāng)年出來這個(gè)概念的時(shí)候，計(jì)算機(jī)還不發(fā)達(dá)，手算為了方便校對(duì)不同結(jié)果的形式，出來這么個(gè)概念。
你想啊，你從等式左邊推導(dǎo)到右邊，萬一出錯(cuò)了呢？出來這么個(gè)概念方便你檢查草稿紙上算得對(duì)不對(duì)。
因?yàn)槭枪曹椣闰?yàn)分布，那么等式左右兩側(cè)，你推導(dǎo)的結(jié)果，也就是等式的右邊，要大致等于等式的左邊。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的详细解释到底啥是共轭先验（用本科知识来解释）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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