非線性系統(tǒng)【三】LaSalle不變原理

引理4.1

如果方程$\dot{x}=f(x)$的解$x(t)$有界，且當(dāng)$t\ge 0$時(shí)屬于$D$,那么其正極限集$L^{+}$是非空不變緊集，且當(dāng)$t\to \infty$時(shí)，$x(t)$趨近于$L^{+}$

定理4.4 LaSalle定理

設(shè)$\Omega ?D$是方程的一個(gè)正不變緊集。設(shè)$V:D\to R$是連續(xù)可微函數(shù)，在$\Omega$內(nèi)滿足$\dot{V}(x)\le 0$設(shè)$E$是$\Omega$內(nèi)所有點(diǎn)的集合，滿足$\dot{V}(x)=0$,$M$是$E$內(nèi)的最大不變集。那么當(dāng)$t\to \infty$時(shí)，始于$\Omega$內(nèi)的每個(gè)解都趨近于$M$。

推論4.1

設(shè)$x=0$是方程的一個(gè)平衡點(diǎn)，$V:D\to R$是D上連續(xù)可微的正定函數(shù)，D包含原點(diǎn)$x=0$，且在$D$內(nèi)滿足$\dot{V}(x)\le 0$。設(shè)$S=\{x\in D|\dot{V}(x)=0\}$。并假設(shè)除平凡解$x\equiv 0$之外沒有其他解同樣保持在$D$內(nèi)，那么原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。A.S.

推論4.2

設(shè)$x=0$是方程的一個(gè)平衡點(diǎn)，$V:D\to R$是D上連續(xù)可微且徑向無界的正定函數(shù)，對于所有的$x\in R^n$有$\dot{V}(x)\le 0$。設(shè)$S=\{X\in R^n|\dot{V}(x)=0\}$。并假設(shè)除平凡解$x\equiv 0$之外沒有其他解同樣保持在$D$內(nèi)，那么原點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。G.A.S.

總結(jié)

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