非線性系統【三】LaSalle不變原理

引理4.1

如果方程$\dot{x}=f(x)$的解$x(t)$有界，且當$t\ge 0$時屬于$D$,那么其正極限集$L^{+}$是非空不變緊集，且當$t\to \infty$時，$x(t)$趨近于$L^{+}$

定理4.4 LaSalle定理

設$\Omega ?D$是方程的一個正不變緊集。設$V:D\to R$是連續可微函數，在$\Omega$內滿足$\dot{V}(x)\le 0$設$E$是$\Omega$內所有點的集合，滿足$\dot{V}(x)=0$,$M$是$E$內的最大不變集。那么當$t\to \infty$時，始于$\Omega$內的每個解都趨近于$M$。

推論4.1

設$x=0$是方程的一個平衡點，$V:D\to R$是D上連續可微的正定函數，D包含原點$x=0$，且在$D$內滿足$\dot{V}(x)\le 0$。設$S=\{x\in D|\dot{V}(x)=0\}$。并假設除平凡解$x\equiv 0$之外沒有其他解同樣保持在$D$內，那么原點是漸進穩定的。A.S.

推論4.2

設$x=0$是方程的一個平衡點，$V:D\to R$是D上連續可微且徑向無界的正定函數，對于所有的$x\in R^n$有$\dot{V}(x)\le 0$。設$S=\{X\in R^n|\dot{V}(x)=0\}$。并假設除平凡解$x\equiv 0$之外沒有其他解同樣保持在$D$內，那么原點是全局漸進穩定的。G.A.S.

總結

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