文章目錄

• 一、李雅普諾夫關于穩定性的定義
• • 1.李氏意義下的穩定
  • 2.漸近穩定
  • 3.大范圍漸近穩定
  • 4.不穩定
• 二、李雅普諾夫第一法
• • 1.線性系統的穩定判據
  • 2.非線性系統的穩定判據
• 三、李雅普諾夫第二法
• • 1.標量函數的定號性
  • 2.穩定性原理
• 四、李雅普諾夫方法在線性系統中的應用
• 五、李雅普諾夫方法在非線性系統中的應用
• • 1.雅可比矩陣法
  • 2.變量梯度法

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一、李雅普諾夫關于穩定性的定義

系統$\dot{x}=f(x,t)$,若存在狀態$x_e$滿足$${\dot{x}}_e\equiv 0$$,則該狀態為平衡狀態

1.李氏意義下的穩定

系統對于任意選定的實數$\epsilon >0$,都存在一個實數$\delta >0$,當滿足$$||x_0?x_e||\le \delta$$
從任意$x_0$出發的解都滿足$$||\Phi ?x_e||\le \epsilon$$
則稱平衡狀態為李氏意義下的穩定

2.漸近穩定

解最終收斂于$x_e$

3.大范圍漸近穩定

從狀態空間中所有初始狀態出發的軌線都具有漸近穩定性，稱這種平衡狀態$x_e$為大范圍內漸近穩定

4.不穩定

不管$\delta$有多小，只要由$S(\delta )$內出發的狀態軌跡超出$S(\epsilon )$ 以外，則稱此平衡狀態是不穩定的

二、李雅普諾夫第一法

1.線性系統的穩定判據

李氏穩定（狀態穩定）的充要條件：系統矩陣A的全部特征值位于復平面的左半部
輸出穩定的充要條件：傳遞函數$W(s)=C(SI?A{)}^{?1}B$的全部極點位于復平面左半部
PS：輸出穩定不一定狀態穩定，可能存在零極點對消

2.非線性系統的穩定判據

非線性系統狀態方程$$\dot{x}=f(x)$$
$$f(x)=[f_1,f_2?f_n]$$
向量函數的雅可比矩陣：

原非線性狀態方程化為線性狀態方程$$\Delta \dot{x}=\frac{?f}{?x^T}\Delta x$$
其中$\Delta x=x?x_e$
然后可套用線性系統的穩定判據

三、李雅普諾夫第二法

1.標量函數的定號性

$V(x)$為x所定義的標量函數，對于任何非零矢量x，如果：
1）$V(x)>0$,則為正定的
2）$V(x)\ge 0$,則為半正定的
3）$V(x)<0$,則為負定的
3）$V(x)\le 0$,則為半負定的

2.穩定性原理

1、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$負定，在原點是漸近穩定的
并且如果$||x||?>\infty ,V(x)?>\infty$,則系統是大范圍漸近穩定的
2、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$半負定，在非零狀態$\dot{V}(x)$ 不恒為 0,在原點是漸近穩定的
3、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$半負定，在非零狀態$\dot{V}(x)$ 恒為 0,在原點是李氏意義下的穩定
4、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$正定，在原點是不穩定的
5、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$正半定，在非零狀態$\dot{V}(x)$ 不恒為 0,在原點是不穩定的
6、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$正半定，在非零狀態$\dot{V}(x)$ 恒為 0,在原點是李氏意義下的穩定

四、李雅普諾夫方法在線性系統中的應用

選定正定二次型函數$V(x)$為李氏函數
$$V(x)=x^{T}Px$$
$$\dot{V}(x)=x^T(PA+A^{T}P)x$$
令$Q=?(PA+A^{T}P)$
如果Q正定，則系統是大范圍漸進穩定的
判定穩定性的步驟：
1、選取正定矩陣Q（通常是單位陣）
2、由$Q=?(PA+A^{T}P)$求P
3、判斷P的正定性
4、穩定性結論

五、李雅普諾夫方法在非線性系統中的應用

1.雅可比矩陣法

$$\dot{x}=f(x)$$
判定穩定性的步驟：
1、求雅可比矩陣

2、克拉索夫斯基表達式：$Q(x)=?[J^T+J]$
3、判斷Q的正定性
4、穩定性結論
PS：克拉索夫斯基定理只是漸近穩定的一個充分條件不是必要條件

2.變量梯度法

1、設$?V=$
2、$$\dot{V}(x)=(?V{)}^T\dot{x}$$
限定$\dot{V}(x)$為負定
3、利用$\frac{n(n?1)}{2}$個旋度方程確定$?V$中的未知數

4、計算并驗證V正定性

5、確定系統漸進穩定的范圍

總結

以上是生活随笔為你收集整理的现代控制理论（4）——李雅普诺夫稳定性理论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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