? ? ? ?在此次新冠肺炎疫情防控過程中，對疫情發展趨勢的科學預測顯得尤為重要。而這背后，離不開對傳染病傳播規律的建模。今天，小編就帶各位數學學子們來了解一下傳染病的四大經典數學模型：SI/SIS/SIR/SEIR。其中用到了許多微分方程的知識，大家不妨在閱讀過程中重溫一下。

首先來介紹幾類與傳染病相關的人群表示：

易感者(Susceptible)：有潛在感染風險的人群，數量記為S(t)

潛伏者(Exposed)：已感染但仍處于潛伏期未發生癥狀的人群，數量記為E(t)

感染者(Infectious)：感染并表現癥狀的人群，數量記為I(t)

康復者(Recovered)：痊愈獲得抗性的人群，數量記為R(t)

SI模型

(Susceptible-Infectious Model)

????SI模型考慮了最簡單的情況，即把人群分為易感者S和感染者I兩類，且絕望地不考慮康復。假設總人數為N，單位時間I個感染者接觸r個人，傳染率為β，易感人比例為S/N，則單位時間新增病例為rβIS/N，可得到微分方程：

????其初始條件為：

????總人數守恒條件為：

????將S=N-I代入第二個微分方程即得：

????這就是我們學過的Logistic方程，解得：

????其指數增長率rβ，正比于感染者的接觸人數和傳染率。當感染者I達到N/2時病人增加速度最快。觀察可得，

????也就是此模型下經過足夠時間人類將全軍覆沒。

????我們用MATLAB來模擬SI模型下的增長過程。假設地區共有5000個人，最初只有1人感染，感染者每天出門遇到10個人，傳染率是1%， 我們來看一看結果。

????半年時間內一個人幾乎傳染給了所有人，SI模型告訴我們在對無望康復的傳染病(如HIV)的控制中，隔離傳染過程非常重要，否則最終整個生態將崩潰。

SIS模型

(Susceptible-Infectious-Susceptible Model)

接下來我們考慮稍微復雜而有希望的情況，即感染者可以康復，但令人沮喪的是康復者仍然可能再次被感染。例如普通流感常常應用這類模型。這種情況下需要向模型中添加感染者I的康復率γ，也就是單位時間內感染者會減少γI，而易感者會增加γI。

????修正微分方程為：

????同樣地，初始條件為：

????以及總人數守恒條件：

????將S=N-I代入第二個微分方程即得：

????同樣的方法可解得Logistic函數：

????注意這次感染者I的極限并不是全部人口N，而是：

????我們一樣用MATLAB來驗證一下，參數取值都與SI模型一樣，不同的是添加了康復率γ，我們假設為3%。

????可見假設條件下一年內病人和健康人基本達到動態平衡，而最終穩定的健康人比例決于rβ和γ，即傳染性和康復性。本例中其他條件不變的情況下如果康復率提高到10%，在極短的時間內病人數將幾乎穩定在0，這出人意料的全員康復結果提示了提高醫療科研水平來增加康復率的重要性。

SIR模型

(Susceptible-Infectious-Recovered Model)

????繼續完善我們的數學模型。許多急性傳染病康復后是存在抗體的，如有短期抗體的感冒，長期抗體的水痘、腮腺炎等。這些時候我們需要引入第三類人群：康復者R，假設此類人群體內擁有別人夢寐以求的抗體，得病后永不復發長生不死。單位時間康復者γI不再加入到S類，而是歸為R類。

????此時有三個微分方程：

????初始條件：

????總人數守恒條件：

????至此就不會求解析解啦，我們用數值解來模擬。還是假設地區共有5000個人，最初只有1人感染，感染者每天出門遇到10個人，傳染率設為3%，康復率是5%。

? ? 可以看到假設條件下傳染病爆發40~50天疫情達到高峰，此后半年內逐漸平息，最后全員康復。這一模型和現實中我們常經歷的急性傳染病的傳播階段比較符合，這其中抗體起到一個非常關鍵的作用，也提示了痊愈者血清以及研制疫苗在遏制疫情上的重要性。

SEIR模型

(Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered Model)

為了研究帶潛伏期的惡性傳染病，繼續復雜化我們的模型。此時引入潛伏者E，潛伏者感染疾病但是不會顯現癥狀，且不考慮潛伏期的傳染性。這類模型就是當前2019-nCoV傳播的基本模型。當然，實際情況要比理想模型復雜得多，還需考慮其他的擾動項來修正方程，我們只考察最原始最簡單的SEIR模型。假設單位時間被感染者I以傳染率β把易感者S變為潛伏者E，即E單位時間增加rβIS/N，而潛伏者以概率α發作成感染者，即E單位時間減少αE，I單位時間增加αE，康復者仍按之前假設。微分方程為：

????初始條件：

????人數守恒：

? ? 同樣地，求不出解析解的情況下我們用數值模擬。為了更好地模擬新肺疫情，傳染率取值較之前的例子有所提高。假設地區共有5000個人，最初只有1人感染，感染者每天出門遇到10個人，以10%的傳染率把健康人變為潛伏者，潛伏者以50%的概率發作癥狀變為感染者，康復率是10%。

? ? 可見上述條件下在20~30天中潛伏期人群達到頂峰，而30天左右感染者達到頂峰，疫情迎來大爆炸，隨著康復人群的上升，疫情在三個月左右基本結束。這大體上符合目前2019-nCoV的走勢。同時可以看出疫情防控中，對感染者的隔離、對潛伏者的盡早識別和控制都是重中之重。

? ? ? 數學無處不在，通過以上模型的介紹，相信大家對傳染病有了更加深入的認識。傳染病防控離不開多個學科的合作，希望通過數學人的共同努力，讓傳染病防控水平得到進一步提升！

文編：網易羊

美編：陳茜

責編：王天曉

總結

以上是生活随笔為你收集整理的seir模型matlab_疫情专题 | 传染病的经典数学模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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