感知器方程公式定義

一般的二維線性分類預測公式：
y hat = W * x + b

一般的三維線性分類預測公式：
y hat = W1 * x1 + W2 * x2 + W3 * x3 + b

如果是n維線性分類預測公式：
y hat = W1 * x1 + W2 * x2 + ... + Wn * xn + b

感知器就是矩陣相乘，并應用S型函數的結果

1.為什么感知器被稱作為“神經網絡“？

因為感知器結構和大腦神經元的結構很相似
感知器的作用是利用某一方程組對輸入進行計算，并決定返回 1 或 0
而大腦神經元從它的多個樹突獲得輸入（這些輸入是神經脈沖），所以神經元的作用就是對神經脈沖進行處理，然后判斷是否通過軸突輸出神經脈沖

所以神經網絡中的神經元就是把一個神經元的輸出作為另一個神經元的輸入

2.感知器的邏輯運算符

AND、OR、NOT 和 XOR

有趣的現象是某些邏輯運算符可以表示為感知器，例如：邏輯與運算（AND）是如何進行的？

AND 感知器，與運算 就是true和true就是true，true和false就是false，false和true就是false，false和false還是false
OR 感知器，或運算 OR 感知器和 AND 感知器很相似，我們可以增大權重，減小偏差就是 OR 感知器
NOT 感知器，非運算 如果是1就返回0，如果是0就返回1
XOR 感知器，異或運算 一個為true，另一個為false

小測試

將權重（weight1、weight2）和偏差 bias 設為正確的值，以便如上所示地計算 AND 運算。

import pandas as pd# 設置 weight1, weight2, 和 bias weight1 = 0.0 weight2 = 0.0 bias = 0.0# 不要修改下面的任何代碼 # 這是輸入和輸出 test_inputs = [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)] correct_outputs = [False, False, False, True] outputs = []for test_input, correct_output in zip(test_inputs, correct_outputs):linear_combination = weight1 * test_input[0] + weight2 * test_input[1] + biasprint(linear_combination)output = int(linear_combination >= 0)is_correct_string = 'Yes' if output == correct_output else 'No'outputs.append([test_input[0], test_input[1], linear_combination, output, is_correct_string])print(outputs) # Print output num_wrong = len([output[4] for output in outputs if output[4] == 'No']) output_frame = pd.DataFrame(outputs, columns=['Input 1', ' Input 2', ' Linear Combination', ' Activation Output', ' Is Correct']) print(num_wrong) if not num_wrong:print('太棒了! 你已經掌握了如何設置權重和偏差.\n') else:print('錯了 {} 個. 繼續努力!\n'.format(num_wrong)) print(output_frame.to_string(index=False))

答案是：

weight1 = 1.0 weight2 = 1.0 bias = -2

感知器算法視頻

參考視頻：https://www.youtube.com/embed/M9c9bN5nJ3U

import numpy as np # Setting the random seed, feel free to change it and see different solutions. np.random.seed(12)def stepFunction(t):if t >= 0:return 1return 0def prediction(X, W, b):return stepFunction((np.matmul(X,W)+b)[0])# TODO: Fill in the code below to implement the perceptron trick. # The function should receive as inputs the data X, the labels y, # the weights W (as an array), and the bias b, # update the weights and bias W, b, according to the perceptron algorithm, # and return W and b. def perceptronStep(X, y, W, b, learn_rate = 0.01):for i in range(len(X)):y_hat = prediction(X[i],W,b)if y[i]-y_hat == 1:W[0] += X[i][0]*learn_rateW[1] += X[i][1]*learn_rateb += learn_rateelif y[i]-y_hat == -1:W[0] -= X[i][0]*learn_rateW[1] -= X[i][1]*learn_rateb -= learn_ratereturn W, b# This function runs the perceptron algorithm repeatedly on the dataset, # and returns a few of the boundary lines obtained in the iterations, # for plotting purposes. # Feel free to play with the learning rate and the num_epochs, # and see your results plotted below. def trainPerceptronAlgorithm(X, y, learn_rate = 0.01, num_epochs = 25):x_min, x_max = min(X.T[0]), max(X.T[0])y_min, y_max = min(X.T[1]), max(X.T[1])W = np.array(np.random.rand(2,1))b = np.random.rand(1)[0] + x_max# These are the solution lines that get plotted below.boundary_lines = []for i in range(num_epochs):# In each epoch, we apply the perceptron step.W, b = perceptronStep(X, y, W, b, learn_rate)boundary_lines.append((-W[0]/W[1], -b/W[1]))return boundary_lines

3.非線性數據

• 一條直線能完好分割的數據，就是線性的
• 如果一條直線不能完好分割的數據，就是非線性的

在非線性的數據里，我們需要借助誤差函數（Error Function）來達到目的，誤差函數越小，離目標越近。

對于優化而言，連續性誤差函數比離散型誤差函數更好。

那如果將離散型誤差函數轉變成連續性誤差函數了？
- 1.離散性 可以用 0或1來表示，y = 1 if x >= 0 else 0
- 2.連續性 可以用 概率 來表示，sigmoid 函數，公式為： y = 1 / (1 + exp(-x))
- 3.對于離散性的激活函數，我們用 階躍函數(Step Function) ，step(Wx + b)
- 4.對于連續性激活函數，我們用 S 函數，Sigmoid(Wx + b)

參考視頻：https://www.youtube.com/embed/Rm2KxFaPiJg

4.多類別分類和softmax

對于之前的二分類問題，我們得到的結果要么是1，要么是0。但是如果我們希望有多個類別了？比如：結果是黃色，綠色，還是藍色？貓，狗，還是老虎？

指數 (exp) 就是對數字進行平方運算，所以結果始終為正數

那如果有多個類別，各自的數字不一樣，比如：1，2，3，那如何讓他們的概率加起來等于1了？
公式就是：
概率1 = exp(1) / (exp(1) + exp(2) + exp(3))
概率2 = exp(2) / (exp(1) + exp(2) + exp(3))
概率3 = exp(3) / (exp(1) + exp(2) + exp(3))

softmax的公式函數

import numpy as npdef softmax(L):expl = np.exp(L) # 將L數組里的所有元素的值都進行指數運算sumExpl = sum(expl) # 對expl數組求和result = []for i in expl:result.append(i * 1.0 / sumExpl) # 計算數組里每個元素的概率值return result

另外，維基百科里有更簡單的寫法，參考鏈接：https://en.wikipedia.org/wiki/Softmax_function

>>> import numpy as np >>> z = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 1.0, 2.0, 3.0] >>> softmax = lambda x : np.exp(x)/np.sum(np.exp(x)) >>> softmax(z)

5.One-Hot Encoding

什么是One-Hot Encoding

在數字電路的一組比特中，合法的組合值高位是1，低位是0
參考One-Hot

為什么要使用One-Hot Encoding

在機器學習領域，為了ML算法更好的運算，我們會將輸入都轉換成One-Hot Encoding，那就意味著，所有的輸入都是1或者0，那么對于兩個類別表示起來就簡單了。

比如：你收到禮物就是1，沒有收到就是0。
但是，假如有多個類別，有鴨子，海象，海貍，對這樣的多類別進行One-Hot Encoding處理，那如何做了？如圖所示，就是對每個類別分開分類，形成矩陣，然后對自己就是1，對別的類別就是0

6.最大似然數 Maximum Likelihood

概率（probability）對于深度學習來說，非常重要。
對于一個好的模型來說，最大化概率，也就會最小化誤差函數，這樣離預測目標就更近。

對于計算概率來講，使用對數（log）是通常是非常好的選擇。即：log(ab) = log(a) + log(b)

在這里，我們要使用底數為e的對數（自然對數），而不是底數為10的對數

7.交叉熵 Cross Entropy

求概率的對數是負值，對它取相反數就會得到正數，最后對它們的相反數求和，就是交叉熵。
簡單地說：就是對對數的負數求和，就是交叉熵。

比如，模型A和模型B的交叉熵：
模型A 0.51 + 1.61 + 2.3 + 0.36 = 4.78
模型B 0.36 + 0.1 + 0.22 + 0.51 = 1.19
事實證明模型B的交叉熵較小。 越準確的模型可以得到較低的交叉熵

誤差較大的模型得到的交叉熵較高，反之，誤差較小的模型得到的交叉熵較小（模型就越優）
這是因為，好模型有較高的概率，反之亦然。
所以，交叉熵可以告訴我們模型的好壞。

現在，我們的目標是，使最大化概率變為最小化交叉熵

我們得到的規律就是：概率和誤差函數之間肯定有一定的聯系，這種聯系就叫做交叉熵。

交叉熵公式：

import numpy as np# Write a function that takes as input two lists Y, P, # and returns the float corresponding to their cross-entropy. def cross_entropy(Y, P):Y = np.float_(Y)P = np.float_(P)return -np.sum(Y * np.log(P) + (1 - Y) * np.log(1 - P))

多類別交叉熵 Multi-Class Cross Entropy

8.Logistic回歸

在機器學習領域中，最有用的、最熱門的基石算法之一：對數幾率回歸 算法
基本上是這樣的：

• 獲取數據
• 選擇一個隨機模型
• 計算誤差
• 最小化誤差，獲得更好的模型
• 完成

* 注意 *
- 1.線性回歸是盡可能靠近所有的點
- 2.logistic回歸是盡可能分開兩種點

9.梯度下降算法

# 激活 (sigmoid) 函數 def sigmoid(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# 輸出 (prediction) 公式 def output_formula(features, weights, bias):return sigmoid(np.matmul(features, weights) + bias)# Error (log-loss) 公式 def error_formula(y, output):return - y*np.log(output) - (1 - y) * np.log(1-output)# Gradient descent step 梯度下降步數，也就是更新權重 def update_weights(x, y, weights, bias, learnrate):output = output_formula(x, weights, bias)d_error = -(y - output)weights -= learnrate * d_error * xbias -= learnrate * d_errorreturn weights, bias

感知器(perceptron)算法與梯度下降(gradient descent)算法的區別：
1.在感知器算法中，并非每個點都會更改權重，只有分類錯誤的點才會
2.在感知器算法中，y hat只能是1或者0；而在梯度下降算法中，y hat 可以是0到1之間的值
3.在梯度下降算法中，一次預測被正確分類的點會更改權重，讓分類直線離這個點遠點，而分類錯誤的點也會更改權重，讓分類直線離這個點更近些

如圖，在 epochs=100 的情況下，看看直線的預測（移動）過程

看 Github代碼 演示

10.神經網絡架構

現在我們可以將這些構建基石組合到一起，并構建出色的神經網絡。（神經網絡也可以稱之為多層感知器）

之前的都是線性的分類，現在我們對現有的線性模型進行線性組合，得到更復雜的新模型，使之成為非線性模型，如圖：

當多個線性模型疊加計算時，每個點得出的結果基本都會大于1，但是對于概率來說，我們的點，必須在0到1之間，此時，我們的做法是將疊加計算的結果（大于1的值）轉換成0到1之間的概率，就需要用到上面所講到的 sigmoid 函數。

通常我們會將線性模型組合到一起，形成非線性模型，然后我們再將這些非線性模型進一步組合，形成更多的非線性模型，隨著更多的組合，就會更多的非線性模型，這就是深度神經網絡。在深度神經網絡中，這些中間的巨大的非線性模型就是隱藏層。

神經網絡使用高度非線性化的邊界，拆分整個n維空間。

神經網絡的多類別分類

之前的神經網絡，我們預測的結果都是一個值。那假如，我們需要預測多個值，該怎么做了？
答案很簡單，就是在輸出層添加多個節點 ，每個節點都會告訴我們預測（輸出）的結果對應的label 的得分是多少，然后通過 softmax函數 得到每個類別的概率，這就是神經網絡進行多類別分類的方法。（softmax函數就是對多類別分類來計算概率的）

11.前向反饋 Feedforward

前向反饋是神經網絡用來將輸入變成輸出的流程，也就是將一個輸出變成下一個輸入，依次類推，直到最后一個輸出的流程。

訓練神經網絡，實際上就是各邊的權重是多少， 才能很好的對數據建模

12.反向傳播 Backpropagation

我們將要訓練神經網絡，就需要使用 反向傳播，反向傳播的流程是：

• 1.進行前向反饋運算
• 2.將模型的輸出與期望的輸出進行比較
• 3.計算誤差
• 4.向后運行前向反饋運算（反向傳播），將誤差分散到每個權重上
• 5.更新權重，并獲得更好的模型
• 6.繼續此流程，直到獲得很好的模型

def error_term_formula(y, output):return (y-output) * output * (1 - output)

* 反向傳播正好是前向反饋的逆過程 *

13.平方平均誤差

平方平均誤差，可以表示預測值和標簽值的差的平方的平均值

學習權重

使用感知器來構建AND, OR, NOT 或 XOR運算，它們的權重都是人為設定的；那如果你要預測大學錄取結果，但你又不知道權重是多少，怎么辦？這就需要從樣本中學習權重，然后用這些權重來做預測。

預測指標

對于模型預測的有多壞，或多好？我們可以使用 誤差 這個 指標 來 衡量。一個普遍的指標是誤差平方和（sum of the squared error 亦稱作SSE）

誤差平方和，可以用于衡量神經網絡的預測效果；值越低，效果越好。

y hat 是預測值，y 是真實值。

梯度是改變率或者斜度的另一個稱呼。如果你需要回顧這個概念，可以看下可汗學院對這個問題的講解。

現在假設只有一個輸出單元，以下就是運行代碼的步驟，本次還是用sigmoid函數作為激活函數

# Defining the sigmoid function for activations # 定義 sigmoid 激活函數，用來計算隱藏層的輸出值 def sigmoid(x):return 1/(1+np.exp(-x))# Derivative of the sigmoid function # 激活函數的導數，用來計算梯度下降的輸出值 def sigmoid_prime(x):return sigmoid(x) * (1 - sigmoid(x))# Input data # 輸入數據 x = np.array([0.1, 0.3]) # Target # 目標 y = 0.2 # Input to output weights # 輸入到輸出的權重 weights = np.array([-0.8, 0.5])# The learning rate, eta in the weight step equation # 權重更新的學習率 learnrate = 0.5# the linear combination performed by the node (h in f(h) and f'(h)) # 輸入和權重的線性組合 h = x[0]*weights[0] + x[1]*weights[1] # or h = np.dot(x, weights)# The neural network output (y-hat) # 神經網絡輸出 nn_output = sigmoid(h)# output error (y - y-hat) # 輸出誤差 error = y - nn_output# output gradient (f'(h)) # 輸出梯度 output_grad = sigmoid_prime(h)# error term (lowercase delta) error_term = error * output_grad# Gradient descent step # 梯度下降一步 del_w = [ learnrate * error_term * x[0],learnrate * error_term * x[1]] # or del_w = learnrate * error_term * xprint('Neural Network output:') print(nn_output) print('Amount of Error:') print(error) print('Change in Weights:') print(del_w)

14.兩層神經網絡

以一個簡單的兩層神經網絡為例，計算其權重的更新過程。假設該神經網絡包含兩個輸入值，一個隱藏節點和一個輸出節點，隱藏層和輸出層的激活函數都是 sigmoid，如下圖所示。（注意：圖底部的節點為輸入值，圖頂部的 y hat 為輸出值。輸入層不計入層數，所以該結構被稱為兩層神經網絡。）

如果你的神經網絡有很多層，使用 sigmoid 激活函數會很快把靠近輸入層的權重步長降為很小的值，該問題稱作梯度消失。

代碼實例，正向傳播 和 反向傳播

import numpy as npdef sigmoid(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))x = np.array([0.5, 0.1, -0.2]) target = 0.6 learnrate = 0.5weights_input_hidden = np.array([[0.5, -0.6],[0.1, -0.2],[0.1, 0.7]])weights_hidden_output = np.array([0.1, -0.3])## 正向傳播 hidden_layer_input = np.dot(x, weights_input_hidden) hidden_layer_output = sigmoid(hidden_layer_input)output_layer_in = np.dot(hidden_layer_output, weights_hidden_output) output = sigmoid(output_layer_in)## 反向傳播 ## 計算網絡輸出誤差 error = target - output# 計算輸出層誤差項 output_error_term = error * output * (1 - output) # 用反向傳播計算隱藏層誤差項 hidden_error_term = np.dot(output_error_term, weights_hidden_output) * \hidden_layer_output * (1 - hidden_layer_output)# 計算隱藏層的權重更新到輸出層 delta_w_h_o = learnrate * output_error_term * hidden_layer_output# 計算輸入層的權重更新到隱藏層 delta_w_i_h = learnrate * hidden_error_term * x[:, None]print('Change in weights for hidden layer to output layer:') print(delta_w_h_o) print('Change in weights for input layer to hidden layer:') print(delta_w_i_h)

• 反向傳播 Andrej Karpathy：是的，你應該了解反向傳播
• 反向傳播 Andrej Karpathy：斯坦福的 CS231n 課程的一個視頻

15.訓練神經網絡

過擬合和欠擬合

我們使用兩幅圖來表示過擬合還是欠擬合，如下所示：

我們總是在尋找中間的那個模型，但是實際中遇到的情況是，模型不是欠擬合了，就是過擬合了，那怎么辦了？我們通常的做法是，選擇一個復雜一些的模型，然后通過一些技巧來防止過擬合。

防止過擬合的技巧：

1.早期停止

epochs的作用就是訓練次數，在訓練期間，隨著epochs的增加，訓練誤差和測試誤差一開始降低，后來增大，而在中間的某個點就是最好的位置，我們就在最佳的epochs位置停止繼續訓練，這就是早期停止（Early Stopping）。

2.正則化

• L1正則化：支持稀疏向量，它表示較小權重趨向于0；
  
  • 所以如果你想降低權重值，最終得到較小的數；這也有利于選中特征
• L2正則化：不支持稀疏向量，它確保表示所有權重一致較小
  
  • 一般用來訓練模型，得出更好的結果

為什么L1正則化得出稀疏權重的向量，而L2正則化得出小齊權的向量？

3.Dropout

Dropout是一種非常常見的正則化技術，用來降低過擬合。
在訓練過程中，一次的epoch時，會暫時關閉一些節點，下一次開啟上一次的關閉的節點，然后再關閉其他的一些節點，依次類推，在每一次的epoch過程中，都執行這個操作，以確保每個節點都均勻的訓練到了。

4.梯度消失

梯度為什么會消失？
因為在梯度下降過程中，會尋找到局部最低點，但是這不是最終的點，于是就卡在了這里。

解決方法，就是使用其他的激活函數，而不是用sigmoid

• tanh（雙曲正切函數），和S函數很像，但是它的范圍是在-1到1之間
• relu（修正線性單元），如果為正值就返回相同的值，如果是負值就返回0

但是最后結果輸出還是用sigmoid

4.1.隨機梯度下降 （Stochastic Gradient Descent）

epochs在梯度下降中的意思，就是步長

隨機梯度下降的原理，就是我們拿出一部分數據，讓他們經歷整個神經網絡，根據這些點計算誤差函數的梯度，然后沿著該方向移動一個步長。

實際訓練的時候，比如：有24個數據點需要訓練，我們就分epochs為4次，每次batch是6個點，這樣就需要讓神經網絡執行24次。

這樣做雖然會讓精確度降低，但是在現實中，采用大量稍微不太準的步長比采取一個很準確的步長要好的多。

基本規則 ：
- 1.如果學習率很大，那就采取很大的步長
- 2.如果學習率很小，就采取很穩定的步長，更有可能到底底部最低值，訓練速度會變慢
- 3.一個好的經驗是，如果模型不行，就降低學習速率

4.2 動量 momentum

動量 是0到1之間的常量beta

除了隨機梯度下降可以解決局部最低點的方案外，還有一個解決局部最低點方案就是用動力和決心快速行動

項目

【共享單車 - 神經網絡】

示例代碼：

class NeuralNetwork(object):def sigmoid(self, x):return 1/(1 + np.exp(-x))def __init__(self, input_nodes, hidden_nodes, output_nodes, learning_rate):# Set number of nodes in input, hidden and output layers.self.input_nodes = input_nodesself.hidden_nodes = hidden_nodesself.output_nodes = output_nodes# Initialize weightsself.weights_input_to_hidden = np.random.normal(0.0, self.hidden_nodes**-0.5, (self.hidden_nodes, self.input_nodes))self.weights_hidden_to_output = np.random.normal(0.0, self.output_nodes**-0.5, (self.output_nodes, self.hidden_nodes))self.lr = learning_rate# Activation function is the sigmoid functionself.activation_function = self.sigmoiddef train(self, inputs_list, targets_list):# Convert inputs list to 2d array, column vectorinputs = np.array(inputs_list, ndmin=2).Ttargets = np.array(targets_list, ndmin=2).T#### Implement the forward pass here ####### Forward pass ####Hidden layerhidden_inputs = np.dot(self.weights_input_to_hidden, inputs)hidden_outputs = self.activation_function(hidden_inputs)#Output layerfinal_inputs = np.dot(self.weights_hidden_to_output, hidden_outputs)final_outputs = final_inputs#### Implement the backward pass here ####### Backward pass #### 1 is the gradient of f'(x) where f(x) = x output_delta = (targets - final_outputs) * 1hidden_delta = np.dot(self.weights_hidden_to_output.T, output_delta) * hidden_outputs * (1-hidden_outputs)# TODO: Update the weightsself.weights_hidden_to_output += self.lr * np.dot(output_delta, hidden_outputs.T)self.weights_input_to_hidden += self.lr * np.dot(hidden_delta, inputs.T)#predict with a inputs_listdef run(self, inputs_list): # Run a forward pass through the networkinputs = np.array(inputs_list, ndmin=2).T#### Implement the forward pass here #####Hidden layerhidden_inputs = np.dot(self.weights_input_to_hidden, inputs)hidden_outputs = self.activation_function(hidden_inputs)#Output layerfinal_inputs = np.dot(self.weights_hidden_to_output, hidden_outputs)final_outputs = final_inputsreturn final_outputs

【項目 - 情感分析 - 從0開始搭建完整的神經網絡】

降低噪點，會提高訓練速度，因為降低噪點就是在訓練的過程中去除掉一些不影響訓練結果的數據，自然就提高了訓練速度。

參考：

感知器算法： https://machinelearningmastery.com/implement-perceptron-algorithm-scratch-python/
非線性模型： https://www.youtube.com/embed/Boy3zHVrWB4
https://www.youtube.com/embed/au-Wxkr_skM
神經網絡多層級結構：https://www.youtube.com/embed/pg99FkXYK0M
神經網絡多類別分類：https://www.youtube.com/embed/uNTtvxwfox0
前向反饋：https://www.youtube.com/embed/Ioe3bwMgjAM
反向傳播：
多元微積分：https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus
反向傳播 Andrej Karpathy：是的，你應該了解反向傳播
反向傳播 Andrej Karpathy：斯坦福的 CS231n 課程的一個視頻
過擬合和欠擬合：https://www.youtube.com/embed/SVqEgaT1lXU
動量：https://www.youtube.com/embed/r-rYz_PEWC8

總結

以上是生活随笔為你收集整理的深度学习 之一 【神经网络介绍】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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