文章目錄

• 前言
• 1.1 度量空間的定義
• 1.2 $H\ddot{o}lder$不等式
• 總結

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前言

好久沒有寫什么東西了，之前準備寫機器學習，但是實在是太長了，望而卻步。泛函分析是我非常感興趣的數學分支，它的高度抽象性使得它似乎潛在于所有的問題之中，雖然每個問題研究對象不同，但是其內在的聯系及解決的方法都存在緊密的關聯性，而泛函分析抽象出來這種隱含的統一性并進行研究。是不是光聽起來就令人興奮不已，通過學習泛函分析， 在遇到其他復雜問題時，我想應該能讓我們用更加抽象、更加統一地眼光來審視它們。btw，鑒于我是工科生出生，所掌握的數學知識也僅限于高數線代概率論，參考用書是由步尚全編著清華大學出版社出版的《泛函分析》，在該書中，作者極力避開了工科生所不具備的數學基礎（如lebesgue積分及集合論等）。
和概率論系列筆記一樣，該系列只是筆者個人對于泛函分析這門課的淺薄理解，希望讀者看到錯誤能進行批評指正，不吝指教，謝謝！

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1.1 度量空間的定義

度量空間之于泛函分析，就如同實數集之于微積分，它是整個泛函分析的基礎。高中數學我們便學習過集合——一個或多個元素構成的整體，并且對它十分熟悉。到了大學，學習了線性代數這門課后，我們知道了空間的概念——具有某種特殊結構的集合稱為空間，例如緊接著學習的線性空間。其特殊結構就體現在定義了**封閉的加法和數乘（標量乘法），同時滿足線性空間的八條公理。**也正是這種特殊結構正對應了“線性”的特點和性質。

類比于線性空間的定義，我們就能很自然地想到，度量空間的定義應該就是給一個空間賦予一個叫做“度量”的特殊結構。事實也確實如此（可見數學其實并不抽象，它的推理過程總是自然而然，符合常識，后續的其他空間概念也都是如此），那么下面我們就給出度量定義的四條公理：

定義1.1.1 設$X$為集合，$d$為$X\times X$上的實值函數，稱$d$為$X$上的度量，若$d$滿足以下四條公理：

$?x,y\in X，d(x,y)\ge 0(非負性）$

若$x,y\in X,則d(x,y)=0當且僅當x=y(非退化性)$

$?x,y\in X,d(x,y)=d(y,x)(對稱性)$

$?x,y,z\in X,d(x,y)\le d(x,z)+d(y,z)(三角不等式)$

此時稱序對$(X,d)$為度量空間（也叫距離空間），簡便起見也直接稱X為度量空間，$d(x,y)$稱為從x到y的度量，X中的元素稱為空間中的點。此外，若$Y?X$，則d在$Y\times Y$上的限制$d{|}_{Y\times Y}$為Y的度量，Y稱為X的度量子空間。

簡單的來看，度量是一個二元函數，從點集映射到實數集，它衡量的是空間中兩個點的差距，在歐式空間中最形象的便是“距離”。但是為了更抽象地理解度量的概念，不僅僅局限于習慣的歐氏空間，不過多的依賴歐式距離，而會使用差距這個詞（實際上無傷大雅，個人喜好）。

按照差距的理解，我們來分析一下度量的定義。首先非退化性和非負性，兩個點最相近也就是完全一樣的時候，差距就不存在了，也就是非退化性；而對任意兩個不相同的點，總是存在差距的（沒有兩片完全相同的葉子，hhh)，這就是非負性。對稱性很好理解，差距對于衡量的兩個點來說是無序的。

最后對于三角不等式的理解，如果用歐式距離的概念來理解，非常簡單，小學我們就學過，三角形兩邊之和大于第三邊，當且僅當三點共線時取等。但是我還是想用差距的觀點一以貫之，$d(x,y)$是$x、y$兩點之間的差距，也即如果要通過“改變”$x$使其成為$y$，至少需要直接彌補$d(x,y)$的差距。而如果我采用間接的方式，先將$x$改變成$z$，再將$z$改變為$y$。倘若$z$是$x$成為$y$的路途中的一個中轉站，$x$經過$z$成為$y$的過程并沒有走歪路(即距離中的z處在以x、y為端點的線段上的情況)，那么有$d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)$。然而事實上除了這種情況，在$x$成為$z$的過程中必然會引入一些“偏離$y$"的新的差距——我們稱之為$\delta$（從某種程度上來說，$\delta$與$x、y$之間的差距是正交的），$\delta$僅僅是為了使得$x$成為$z$而引入的，而在讓$z$成為$y$的過程中又需要去除，那么經過$z$再成為$y$所需要彌補的差距就是$2\delta +d(x,y)$（也可能$x$到$z$的過程中甚至會"遠離"$y$，那樣就會比該式更大，對應下圖即是鈍角三角形的情況，讀者可自行想像），$\delta$也是對差距的度量，同樣具有非負性，于是就有了$d(x,y)<d(x,z)+d(z,y)$。通過下面這張圖，可以幫助理解我所說的從$x$到$y$的轉變過程及$\delta$的含義：

這樣，我們就分析完了度量空間的定義，總結就是，我們希望對空間中的點描述其之間的差距，所以引入了度量，從而構成了度量空間。后續我們希望能夠通過更多維度對空間中的點進行更為豐富地描述，也就會定義更多的特殊結構，及包含這些結構的新的空間。

下面舉一個簡單的度量空間的例子：

設$X$為集合，$x,y\in X$，定義$d(x,y)=\{\begin{array}{ccc}0,& x=y& \\ 1,& x=y& \end{array}$

要驗證該$d$是度量，只要將度量的四條公理依次進行驗證即可。
1：由$d$的定義可知$d(x,y)\ge 0$恒成立。
2：由$d$的定義可知$d(x,y)=0$只有當$x=y$時成立。
3：由$d$的定義可知$d(x,y)=d(y,x)$
4：若$x=y$，則三角不等式$d(x,y)=0\le d(x,z)+d(y,z)$顯然成立；若$x=y$，則$z=x=y$不成立，則三角不等式$d(x,y)=1\le d(x,z)+d(y,z)$仍然成立。

由此，上述空間確實是一個度量空間，該度量被稱為$X$上的離散度量。

1.2 $H\ddot{o}lder$不等式

在介紹大名鼎鼎的$H\ddot{o}lder$不等式之前，我們先來看下面這個度量空間的例子：

設$1\le p<\infty$，稱數列$x=\{x_n\}$為$p$階可和數列，若下式成立：
${\Sigma }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p<\infty$
我們用$l^p$表示所有$p$階可和數列構成的集合，對于$x,y\in l^p$，定義
$d_p(x,y)=({\Sigma }_{n=1}^{\infty }|x_n?y_n{|}^p{)}^{1/p}$

首先該度量定義有界：

首先由絕對值不等式有：
${\Sigma }_{n=1}^{\infty }|x_n?y_n{|}^p<{\Sigma }_{n=1}^{\infty }(|x_n|+|y_n|{)}^p$
再對其進行$|x_n|+|y_n|\le 2max\{|x_n|,|y_n|\}$的放縮：
$({\Sigma }_{n=1}^{\infty }(|x_n|+|y_n|{)}^p\le 2^p{\Sigma }_{n=1}^{\infty }max\{|x_n{|}^p,|y_n{|}^p\}$
最后再進行$max\{|x_n|,|y_n|\}\le |x_n|+|y_n|$的放縮得：
$2^p{\Sigma }_{n=1}^{\infty }max\{|x_n{|}^p,|y_n{|}^p\}\le 2^p{\Sigma }_{n=1}^{\infty }(|x_n{|}^p+|y_n{|}^p)<\infty$

現在看它是否滿足度量四條公理，前三條顯然滿足，不再贅述，第四條三角不等式就不太能夠輕易驗證了，我們暫且將它擱置，等我們介紹完$H\ddot{o}lder$不等式，再來證明就非常簡單了。

定理1.1.1 $H\ddot{o}lder$不等式
設$<1p,q<\infty$且$1/p+1/q=1$(此時稱$p,q$互為共軛指數)，$x=\{x_n\}\in l^p,y=\{y_n\}\in l^p$.則$\{x_n{y}_n\}\in l^1$,且有：
${\Sigma }_{n=1}^{\infty }|x_n{y}_n|\le ({\Sigma }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p{)}^{1/p}({\Sigma }_{n=1}^{\infty }|y_n{|}^q{)}^{1/q}$

證明下次再寫吧，今天先到這，嘿嘿

總結

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【个人学习笔记】泛函分析-度量空间（一）——定义与例子的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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