Description

給定一個(gè)nxm的網(wǎng)格，請(qǐng)計(jì)算三點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形共有多少個(gè)。

下圖為4x4的網(wǎng)格上的一個(gè)三角形。

注意三角形的三點(diǎn)不能共線。

Input

輸入一行，包含兩個(gè)空格分隔的正整數(shù)m和n。

Output

輸出一個(gè)正整數(shù)，為所求三角形數(shù)量。

HINT

數(shù)據(jù)范圍
$1\leqslant m,n \leqslant 1000$

?

　　這道題一眼看去有一個(gè)非常顯然的想法，那就是先用組合數(shù)算出任選三點(diǎn)出來(lái)的方案數(shù)，最后再減去三點(diǎn)共線的情況即可。那么關(guān)鍵就在于如何求三點(diǎn)共線的數(shù)目。

　　首先，我們要用到一個(gè)公式：設(shè)兩個(gè)整點(diǎn)分別為$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，那么兩點(diǎn)之間連線上的整點(diǎn)數(shù)目為$gcd(|x_2-x_1|,|y_2-y_1|)$。

　　我覺得這個(gè)公式需要證明一下(其實(shí)很簡(jiǎn)單)。

　　首先，這條直線可以平移一下，使得$x_1=y_1=0$。為了考慮方便，我們這里還設(shè)$x_2 \geqslant 0,y_2 \geqslant 0$

　　設(shè)$\Delta x=x_2,\Delta y =y_2$(只是為了好看一點(diǎn))，連線上整點(diǎn)的坐標(biāo)為$(x,y)$，那么顯然有：$$\frac{x}{\Delta x}=\frac{y}{\Delta y}$$

　　設(shè)$r=gcd(\Delta x,\Delta y)$，$\Delta x=ar$，$\Delta y=br$，那么有：$$xb=ya$$

　　由于$a,b$互質(zhì)，$x,y$為整數(shù)，于是我們就得到了$$x=ka,y=kb(k \in Z)$$；

　　由于$0 \leqslant x \leqslant \Delta x,0\leqslant y \leqslant \Delta y$且$x,y$為整數(shù)

　　所以$x,y$的取值共有$\Delta x / a=\Delta y/b=gcd(\Delta x,\Delta y)$種

　　除去$x=\Delta x,y=\Delta y$這組解，這兩點(diǎn)連線上共有$gcd(\Delta x,\Delta y)-1$個(gè)整點(diǎn)。

　　接下來(lái)我們可以直接枚舉線段，然后計(jì)算有線段上有多少個(gè)整點(diǎn)；然而這樣復(fù)雜度是$O(n^2m^2)$的。

　　然后，顯然每一條線段經(jīng)過平移，使它的左端點(diǎn)在矩形左下角或者左上角。由于向下和向上的線段對(duì)稱，所以只需要計(jì)算一種即可。

　　所以就固定一個(gè)端點(diǎn)為$(0,0)$，枚舉另外一個(gè)端點(diǎn)在哪里，計(jì)算一下即可。

　　下面貼代碼(話說這么一道題我好像講復(fù)雜了)：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)using namespace std; typedef long long llg;int n,m; llg ans,x;int gcd(int a,int b){if(!b) return a;int r=a%b;while(r) a=b,b=r,r=a%b;return b; }int main(){File("a");scanf("%d %d",&n,&m);x=(n+1)*(m+1); ans=x*(x-1)*(x-2)/6;for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)if(i|j){llg x=(llg)(n-i+1)*(llg)(m-j+1);ans-=x*(llg)(gcd(i,j)-1);if(i && j) ans-=x*(llg)(gcd(i,j)-1);}printf("%lld",ans);return 0; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/lcf-2000/p/6218327.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ 3505 【CQOI2014】 数三角形的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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