摘自<Understanding Digital Signal Processing>第三版，13.10 Fast FIR Filtering Using the FFT一節

基于的理論：頻域上的乘積等效于時域上的卷積。

基本的計算流程，如下圖所示。

將輸入信號$x(n)$和濾波器參數$h(k)$分別進行FFT，得到$X(m)$和$H(m)$，在頻域上進行乘積，然后，進行IFFT。

對于$Q?tap$的FIR濾波器，其標準的卷積方程為
$$y(n)=\sum _{k=0}^{Q?1}h(k)x(n?k)=h(k)?x(n)$$
假設$h(k)$的長度為$Q$，$x(n)$的長度為$P$，則最終輸出的$y(n)$的長度為$L=Q+P?1$.

為了使快速卷積技術能得到有效的結果，前向和逆FFT的尺寸必須等于或大于$L$，因此，$N?point$的FFT尺寸為$N\ge L$，并對$h(k)$和$x(n)$進行$zero?pad$，使其長度等于$N$。所需要的輸出$y(n)$為逆FFT的前$L$個樣本的實數部分。關于濾波器參數的FFT只需計算一次并存儲下來即可。

當輸出序列長度太大，必須進行分段處理時，有兩種處理方法：$overlap?and?save$和$overlap?and?add$。

Overlap-and-save

具體流程，如下圖所示。

對于給定的FIR濾波器的脈沖響應$h(k)$的長度為$Q$，輸入序列$x(n)$的長度為$P$，具體步驟：

選擇FFT的尺寸為$N$，其中$N$為2的指數，約等于4倍$Q$；

在$h(k)$的末端增加$(N?Q)$個零值樣本，進行$N?point$的FFT，生成復序列$H(m)$;

計算整數M，$M=N?(Q?1)$；

在$x(n)$的前$M$樣本之前插入$(Q?1)$個零值樣本，創建$N?point$的FFT的輸入序列$x_1(n)$；

對$x_1(n)$進行$N?point$的FFT計算，并乘以$H(m)$，然后，對乘積進行$N?point$的逆FFT。去掉逆FFT結果的前$(Q?1)$個樣本，生成$M?point$的輸出$y_1(n)$；

將$x_1(n)$的前$(Q?1)$個零值樣本增加到第二個原始長度為M的$x(n)$的開頭部分，創建第二個$N?point$的FFT輸入序列$x_2(n)$；

對$x_2(n)$進行$N?point$的FFT計算，并乘以$H(m)$，然后，進行逆FFT，去除前$(Q?1)$個樣本，生成第二個M點的輸出數據$y_2(n)$；

重復步驟6-7，直至處理完整個輸入序列。

將生成的$y_1(n),y_2(n),y_3(n),....$進行串聯合并，生成最終的線性卷積濾波器的輸出序列$y(n)$。

可以試驗不同的$N$值，看是否存在一個最優的$N$使得你的硬件和軟件實現的計算載荷最小。不過，在任何情況下，$N$必須不小于$(M+Q?1)$。

Overlap-and-add

具體流程，如下圖所示。

對于這種方法，輸入序列$x(n)$被分段成長度為$M$的數據片段，數據的overlap發生在逆FFT計算。對于給定的FIR濾波器的脈沖響應$h(k)$的長度為$Q$，輸入序列$x(n)$的長度為$P$，具體步驟：

選擇FFT尺寸為$N$，其中$N$為2的指數，約等于2倍的Q；

在$h(k)$的末端增加$(N?Q)$個零值樣本，進行$N?point$的FFT，生成復序列$H(m)$;

計算整數M，$M=N?(Q?1)$；

在原始序列$x_1(n)$的前$M$樣本末端增加$(Q?1)$個零值樣本，創建$N?point$的FFT的輸入序列$x_1(n)$；

對$x_1(n)$進行$N?point$的FFT計算，并乘以$H(m)$，然后，對乘積進行$N?point$的逆FFT。并保留前$M$個樣本，生成$M$樣本的輸出數據$y_1(n)$；

在第二個原始序列$x_2(n)$的前$M$樣本末端增加$(Q?1)$個零值樣本，創建$N?point$的FFT的輸入序列$x_2(n)$；

對第二個$N?point$的輸入序列進行FFT計算，并乘以$H(m)$，然后，對乘積進行$N?point$的逆FFT。將上一步的逆FFT的最后$Q?1$個樣本增加到當前逆FFT序列的開頭的$Q?1$個樣本上。保留$Q?1$個樣本相加過程的結果序列中的開頭的$M$個樣本作為輸出數據$y_2(n)$;

重復步驟6-7，直至處理完整個數據序列。

將生成的$y_1(n),y_2(n),y_3(n),....$進行串聯合并，生成最終的線性卷積濾波器的輸出序列$y(n)$。

可以試驗不同的$N$值，看是否存在一個最優的$N$使得你的硬件和軟件實現的計算載荷最小。不過，在任何情況下，$N$必須不小于$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的使用FFT进行快速FIR滤波的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。