貪心法是把一個復雜問題分解為一系列較為簡單的局部最優(yōu)選擇，每一步選擇都是對當前解的一個擴展，直到獲得問題的完整解。貪心法的典型應(yīng)用是求解最優(yōu)化問題，而且對許多問題都能得到整體最優(yōu)解，即使不能得到整體最優(yōu)解，通常也是最優(yōu)解的很好近似。

概述

貪心法的設(shè)計思路

貪心法目光短淺，并不是從整體最優(yōu)考慮，它所做出的選擇只是在某種意義上的局部最優(yōu)，這種局部最優(yōu)選擇并不總能獲得整體最優(yōu)解，但通常能獲得近似最優(yōu)解。

用貪心法求解的問題一般有兩個最重要的性質(zhì)：最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)和貪心選擇性質(zhì)。

1）最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)：當一個問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解時，稱此問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，也稱此問題滿足最優(yōu)性原理，問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是該問題可以用動態(tài)規(guī)劃法或貪心法求解的關(guān)鍵特征。

2）貪心選擇性質(zhì)：所謂貪心選擇性質(zhì)是指問題的整體最優(yōu)解可以通過一系列局部最優(yōu)的選擇，即貪心選擇來得到，貪心法通常以自頂向下的方式作出一系列的貪心選擇。確定是否有貪心選擇性質(zhì)

• 通常先考察問題的一個整體最優(yōu)解，并證明可修改這個最優(yōu)解，使其從貪心選擇開始
• 作出貪心選擇后，原問題簡化為規(guī)模較小的類似子問題
• 用數(shù)學歸納法證明，通過每一步貪心選擇，最終可得到問題的整體最優(yōu)解

貪心法的求解過程

貪心法通常用來求解最優(yōu)化問題，從某一個初始狀態(tài)出發(fā)，根據(jù)當前的局部最優(yōu)策略，以滿足約束方程為條件，以使目標函數(shù)增長最快(最慢)為準則，在候選集合中進行一系列的選擇，以便盡快構(gòu)成問題的可行解。

圖問題中的貪心法

TSP問題

TSP問題是指旅行家要旅行n個城市，要求各個城市經(jīng)歷且僅經(jīng)歷一次，然后回到出發(fā)城市，并要求所走的路程最短。

貪心法求解TSP問題的貪心策略有兩種

最近鄰點策略：從頂點出發(fā)，每次選擇相鄰的同時又是距離最短的。該方案的最終結(jié)果難以保證，所以pass。

最短鏈接策略：每次在整個圖的范圍內(nèi)選擇最短邊加入到解集合中，但是，要保證加入解集合中的邊最終形成一個哈密頓回路。因此，當從剩余邊集E’中選擇一條邊(u,v)加入解集合S中，應(yīng)滿足以下條件：

• 邊(u,v)是邊集E’中代價最小的邊
• 邊(u,v)加入解集合S后，S中不產(chǎn)生回路
• 邊(u,v)加入解集合S后，S不產(chǎn)生分枝
  

這個思路可以解決TSP問題，獲取最短邊使用堆排序，判斷兩個頂點是否連通及是否產(chǎn)生分枝，使用并查集，可以將時間性能提高為O(nlog2 n)

TSP問題樂扣上沒有相關(guān)題目，此處就不做了，不過這個思路其實比動態(tài)規(guī)劃要容易一些，但是在具體的實現(xiàn)上，困難很多。

圖著色問題

給定無向連通圖G=(V,E)，求圖G的最小色數(shù)k，使得用k種顏色對G中的頂點著色，可使任意兩個相鄰頂點著色不同。

貪心策略為：選擇一種顏色，以任意頂點作為開始頂點，依次考察圖中的未被著色的每個頂點，如果一個頂點可以用顏色1著色，換言之，該頂點的鄰接點都還未被著色，則用顏色1為該頂點著色，當沒有頂點能以這種顏色著色時，選擇顏色2和一個未被著色的頂點作為開始頂點，用第二種顏色為盡可能多的頂點著色，如果還有未著色的頂點，則選取顏色3并為盡可能多的頂點著色，以此類推。

這種策略和選擇頂點進行著色的順序有很大關(guān)系，而且很難確認是最優(yōu)解，我也不知道為啥作者講這道題。

最小生成樹問題

設(shè)G=(V,E)是一個無向連通圖，生成樹上各邊的權(quán)值之和稱為該生成樹的代價，在G的所有生成樹中，代價最小的生成樹稱為最小生成樹。

最近頂點策略：選一個頂點，找出和該頂點相鄰的最近的頂點，加入該點后，找出和這兩個頂點相鄰的最近頂點，不斷重復該過程，直到加入完所有頂點。這也叫做Prim算法，時間復雜度為O(n^2)。

最短邊策略:最短邊策略從TE={}開始，每一次貪心選擇都是在邊集E中選取最短邊(u,v)，如果邊(u,v)加入集合TE中不產(chǎn)生回路，則將邊(u,v)加入邊集TE中，并將它在集合E中刪去。這也叫Kruska算法，時間復雜度為O(elog2 e)。

這兩個算法的證明，其實可以用反證法，如果說不是最優(yōu)的，那么說明存在一個點到其他各個點的距離要小于當前邊，但這個是不存在的，所以說明是最優(yōu)的。

樂扣的貪心算法系列里，沒有圖相關(guān)的算法，所以這里先不做習題了。

組合問題中的貪心法

背包問題

給定n中物品和一個容量為C的背包，物品i的重量是wi，其價值為vi，背包問題是如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大？

這個背包問題不是0/1背包問題，因為物品可以部分裝入，所以可以使用貪心法，貪心策略為：每次從物品集合中選擇單位重量價值最大的物品，單位價值=vi/wi。

1383. 最大的團隊表現(xiàn)值 - 困難 代碼 這道題我沒有解出來，最初的思路有問題。后來看了答案才解出來的。確實是用的貪心算法。解這道題，一定需要想清楚思路，其實這道題的思路從宏觀上看是很直白的，另外需要靈活使用go的堆。

活動安排問題

設(shè)有n個活動集合E={1,2,……,n}，其中每個活動都要求使用同一資源（如演講會場），而在同一時間內(nèi)只有一個活動能使用這一資源。每個活動i都有一個要求使用該資源的起始時間si和一個結(jié)束時間fi，且si<fi。如果選擇了活動i，則它在半開時間區(qū)間[si,fi)內(nèi)占用資源。若區(qū)間[si,fi)與區(qū)間[sj,fj)不相交，則稱活動i與活動j是相容的。也就是說，當si>=fj或者sj>=fi時，活動i與活動j相容。活動安排問題要求在所給的活動集合中選出最大的相容活動子集。

其中合理的貪心策略為：最早結(jié)束時間，這樣可以使下一個活動盡早開始。

將所有活動按照最早結(jié)束時間排序，從頭開始選擇不相交的活動，便是最終結(jié)果。

麻煩的點在于如何證明該貪心策略能夠計算出正確結(jié)果：

• 整體最優(yōu)解從貪心選擇開始：設(shè)E={1,2……,n}為n個活動的集合，且E中的活動按結(jié)束時間非減序排列，所以，活動1具有最早的結(jié)束時間。首先證明活動安排問題有一個最優(yōu)解以貪心選擇開始，即該最優(yōu)解中包含活動1。設(shè)A是E的子集且是活動安排問題的一個最優(yōu)解，且A中的活動也按結(jié)束時間非減序排列，A中的第一個活動是活動k。若k=1，則A就是以貪心選擇開始的最優(yōu)解；若k>1，則設(shè)B=A-{k}+1，即在最優(yōu)解A中用活動1取代活動k。由于f1<=fk，所以B中的活動也是相容的，且B中活動個數(shù)與A中活動個數(shù)相同，故B也是最優(yōu)解。由此可見，總存在以貪心選擇開始的最優(yōu)活動安排方案。
• 作出貪心選擇后，原問題簡化為規(guī)模較小的類似子問題：選擇活動1后，原問題簡化為對E中所有與活動1相容的活動安排子問題。也就是說，若A是原問題的最優(yōu)解，則A’是活動安排子問題E’={si>=f1,si屬于E}的最優(yōu)解。如果不然，假設(shè)B’是E’的最優(yōu)解，則B‘比A’包含更多的活動，將活動1加入B‘中將產(chǎn)生E的一個解B，且B比A包含更多的活動，這與A是原問題的最優(yōu)解相矛盾。因此每一步貪心選擇陡降問題簡化為一個規(guī)模較小的與原問題具有相同形式的子問題。
• 對貪心選擇次數(shù)應(yīng)用數(shù)學歸納法可證，貪心法求解活動安排問題最終產(chǎn)生原問題的最優(yōu)解。

1386. 安排電影院座位 - 中等 代碼

多機調(diào)度問題

設(shè)有n個獨立的作業(yè){1,2,……,n}，由m臺相同的機器{M1,M2,……,Mm}進行加工處理，作業(yè)i鎖需的處理時間為ti(1<=i<=n)，每個作業(yè)均可在任何一臺機器上加工處理，但不可間斷、拆分。多機調(diào)度問題要求給出一種作業(yè)調(diào)度方案，使所給的n個作業(yè)在盡可能短的時間內(nèi)由m臺機器加工處理完成。

多機調(diào)度問題問題是NP難問題，到目前為止還沒有有效的解法。對于這類問題，用貪心法求解有時可以得到較好的近似解。貪心法求解多機調(diào)度問題的貪心策略是最長處理時間作業(yè)優(yōu)先，即把處理時間最長的作業(yè)分配給最先空閑的機器，這樣可以保證處理時間長的作業(yè)優(yōu)先處理，從而在整體上獲得盡可能短的處理時間。

其實看貪心法這一章的時候，一直沒明白為什么老師在這章里的很多題目，使用貪心法是無法計算出正確結(jié)果的。現(xiàn)在我多少有點明白了，因為本書的關(guān)鍵并不是在于計算出正確結(jié)果，而是讓我們理解貪心法能做什么、不能做什么、能做到什么程度。真實社會中，可能也不需要最準確的結(jié)果，因為一些其他因素可能比結(jié)果是否最準確影響更大。

621. 任務(wù)調(diào)度器 - 中等 代碼

總結(jié)

本來以為DP的題麻煩，后來發(fā)現(xiàn)貪心法其實更麻煩。主要在于使用貪心法需要證明能夠取得最優(yōu)解

從貪心選擇開始

簡化為規(guī)模較小類似子問題

使用歸納法證明能產(chǎn)生最優(yōu)解

貪心法的證明比動態(tài)規(guī)劃證明更加復雜一些，而且本章中做的習題，沒有動態(tài)規(guī)劃法做的更加順暢。建議大家多多練習一下貪心法。

最后

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總結(jié)

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