聲明與簡(jiǎn)介

線性代數(shù)行列式計(jì)算之降階法一般針對(duì)于行列是0元素較多的情況，它的核心思想是對(duì)某行（列）能方便的進(jìn)行行列式展開(kāi)，即某行（列）元素與其代數(shù)余子式的乘積，而該行（列）元素為0的較多，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式又比較簡(jiǎn)單的求出（比如三角形的行列式）。

降階法

代數(shù)余子式展開(kāi)

計(jì)算n階行列式：

?過(guò)程詳解

#1 思路 Step1 先觀察行列式的特點(diǎn)，再整理思路 Step2 以第1列為軸，不難發(fā)現(xiàn)它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式是個(gè)對(duì)角形。 Step3 思路形成，以第1列對(duì)應(yīng)的兩個(gè)元素a和b分別乘以對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式得到該行列式。

# 實(shí)操
Step1:有上述思路所以，行列式D的計(jì)算方式轉(zhuǎn)換為a乘其代數(shù)余子式加上b乘其代數(shù)余子式。

這里a的代數(shù)余子式為

Step2:而針對(duì)b展開(kāi)時(shí)，需要分兩步，展開(kāi)時(shí)系數(shù)為

b的代數(shù)余子式系數(shù)類(lèi)似a即為0，結(jié)果為

step3:所以最終結(jié)果為：

附錄是元素b對(duì)應(yīng)的余子式。

?行列臨位錯(cuò)位相減

計(jì)算n階行列式

?過(guò)程詳解

#1 思路 Step1 先觀察行列式的特點(diǎn)，再整理思路 Step2 觀察行列式不難發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：出現(xiàn)了大量重復(fù)的a和d（盡管有系數(shù)上的差距）。這時(shí)優(yōu)先考慮消除a，因?yàn)槊恳恍?#xff08;列）里的a是固定的，而d是動(dòng)態(tài)（隨元素位置變化）的。進(jìn)而通過(guò)隔行（列）消除d，最終在余子式里化成三角形。

#2 實(shí)操

Step1：以行操作為例，第n-1行的-1倍加到第n行上去（等同于第n行減去第n-1行，一般我們用符合行列式性質(zhì)的說(shuō)法去描述，盡管有些繞口），同理第n-2行的-1倍加到第n-1行上去，直至第2行的-1倍加到第1行上去，最終第1行沒(méi)法類(lèi)似操作，即保留不動(dòng)。

結(jié)果為：

Step2： 針對(duì)上式，以列方式觀察第1行第1列的余子式，不難發(fā)現(xiàn)除第1列的其它列含大量重復(fù)的d（共n-1個(gè)），僅有一處元素對(duì)應(yīng)位置不同，即第一列某處是d而其它列對(duì)應(yīng)位置是-（n-1）d。

處理方法，將第1列的-1倍加到第2、3…n列上去。

結(jié)果為：

Step3：針對(duì)Step3，需要把第1列的d給消除掉，這時(shí)需要第2、3…n列的1/n倍加到第1列上去。

結(jié)果為：

Step4：針對(duì)行列式第1行第1列的余子式，不難發(fā)現(xiàn)是三角型的，這里我們用行列式的定義即可求出。如下圖這個(gè)框起來(lái)的子行列式（記住E）每個(gè)元素都是-nd，這里我們以列作為正序數(shù)取，即列為1，2，3…來(lái)取b。

那么得到行列式E(n-1階的)對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)的序號(hào)為

(n-1)1、(n-2)2、（n-3）3…1(n-1)

針對(duì)上述的逆序數(shù)，不能得出代數(shù)余子式系數(shù): (n-1+1)(n-1)/2,而對(duì)象線相乘得

Step5:整理后最終結(jié)果為：

?行列臨位錯(cuò)位相乘

計(jì)算n階行列式

過(guò)程詳解?

#1 思路 Step1 先觀察行列式的特點(diǎn)，再整理思路 Step2 觀察行列式不難發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律： 行列的第1列提取公因子之后和其它列對(duì)應(yīng)元素有個(gè)倍數(shù)差，利用這點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)清0。

#2 實(shí)操

Step1：提取第1列公因子 ，并將第1列的負(fù)倍加到其它各列上去，其中i從2到n。

結(jié)果為：

Step2再基于行列式展開(kāi)式，對(duì)第n行元素展開(kāi)，再結(jié)合三角形性質(zhì)得最終結(jié)果：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数行列式计算方法之降阶法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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