行列式的計算

二階行列式

主對角線相乘減去副對角線相乘

多階行列式

• 采用的方法是化為上三角形的形式

• 利用的原理性質是某行加減林另外一行的幾倍行列式不變
  

• 首先利用第一行消去第一列的元素
  再利用第二行消去第二列的其他元素
  再利用第三行消去第三列的其他元素
  直到求出行列式的值

其他的兩個性質

• 行列式兩行互換值乘-1
• 行列式一行或一列乘k倍其總體就得乘k倍

有0先變換
無0化加減

公式一

對角線的數字和其他數字不一樣

公式二

每一列都是上一列的次方數加一

行列式的性質

• 行列式的一行等于零一行的倍數時候行列式為0
• 行列式的兩個數相加可以拆開變成兩個行列式

求余子式,代數余子式

• 去掉行 去掉列 求剩下部分的行列式的值
• 去掉行 去掉列 剩下行列式的值乘以-1的多少次方 多少是此時的行數加列數
  

求行列式的值

行列式按行按列的展開

如果某一行或一列除了一個數之后全是0
注意：

• 行列式乘的是其對應的代數余子式

多個A和M相加減

將A和M換為的展開式改變行列式即可

給一個方程組判斷其解的情況（通過行列式的值判斷）

• 齊次：方程右邊為0 非齊次：方程右邊不為0
• 對于非齊次的方程組來說如果D=0 無解或多個解
• 對于非齊次的方程組來說 如果D不等于0 只有一個非零解
• 對于齊次的方程組來說 如果D等于0 有0解和非零解 如果D不為0 只有零解

矩陣加減

• 一一對應的進行加減就可以

矩陣相乘

• 前列等于后行
• 前行乘后列

矩陣相乘的六種特殊情況

• 0矩陣即是全部都是0
• E矩陣與任何矩陣相乘都為E E矩陣可以自適應幾行幾列
• AB和BA不相等
• AX=AY不能推出X等于Y
• （AB）^k 不等于A^k B^k
• 完全平方公式不可以被合并 有E矩陣存在時才可以合并

涉及轉置的題目

證明矩陣可逆

• 方法1：判斷行列式不為0就可逆
• 方法2 ：讓一個矩陣乘他或他乘一個矩陣等于E

求逆矩陣

求一個矩陣的逆矩陣采用初等行變換的方法求

利用A逆乘A等于E

利用A星號乘A等于A絕對值E

同上消去A星

求矩陣的R

讓下行的0永遠比上行多

已知矩陣的R求其他的的未知數

將矩陣盡量化為從下到上0變少的形式

判斷某向量可否由某向量組線性表示

將新的向量與原向量組成新的向量方程組

判斷某個向量組是否線性相關

R個數如果小于向量個數就線性相關 否則就線性無關

已知一組基底 求一向量在此基底下的坐標

設k1 k2 k3 在新的基底下實現

求幾個行向量的極大無關組

就是把他化為R的形式看他對哪一行進行了變換

判斷方程組解的個數（Rank）

解方程組

• 求RA增廣矩陣
• 將其中第R行R列化成E
• 設未知數個數減去RA的k依次代替后幾個未知數
• 再將改變后的矩陣回復為方程組
• 用代替后的k來表示出每個x的值

求通解 特解 基礎解系

通解就是帶k的值
特解就是把k賦值成一個
基礎解系就是只取其中k幾列的值

通過特解求通解

求其次的通解
把非齊次的對其右側為0
再通過加一個常數構造成求非齊次的通解

判斷解集合空間中線性無關的解向量個數

規范正交化

• 中括號指的是點積

• 雙豎線代表平方和再取根號

• 規范正交化的方法!#

求矩陣的特征值

求矩陣的特征值A-λE的行列式
求解出λ
λ123從次方數小到大排序

求矩陣的特征向量

求（A-λE）x=0的通解就是特征向量
求通解注意分類討論λ的值

判斷方陣是否與對角線相似/是否滿足p-1AP=尖

特征向量等于則滿足 不等于則不滿足

求方陣的對角陣以及可逆變換矩陣P

再將矩陣從左到右依次排列得到可你變換矩陣

已知關于對角陣相似 求關于A的復雜式子

求二次型對應的系數矩陣

• 找出二次型式子所含的最大的n
• 將其化為特定的形式
• 找出相應的a最后化為矩陣形式
• 將上半部分對稱的填到矩陣當中
  

把二次型化成標準形式

把二次型化成規范形

用配方法把二次型化為標準型

判斷二次型的正定性

二次型為正定的等價條件

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数学习1.0的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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