$$V:=\{Y:Y為實值隨機過程，{\mathcal{F}}_t?適合，可測，且滿足\Vert Y{\Vert }_V:={\left({\int }_0^{\infty }\mathbb{E}\left[Y(t{)}^2\right]\mathrm{d}t\}\right)}^{\frac{1}{2}}<\infty \}$$ $?Y\in V$定義$${\int }_0^{T}Y(t)°\mathrm{d}W(t):=\underset{|\Pi |\to 0}{\lim }\sum _{t_i\in \Pi }\frac{1}{2}\left(Y(t_{i+1}+Y_i)\right)\left(W(t_{i+1})?W(t_i)\right).$$其中$\Pi$是$[0,T]$上的劃分，$0=t_0<t_1<?<t_{n?1}<t_n=T$，$|\Pi |={\max }_i(t_{i+1}?t_i)$。

定理：對任意的被積函數$Y\in V$，在概率意義上$$\underset{|\Pi |\to 0}{\lim }\sum _{t_i\in \Pi }\frac{1}{2}\left(Y(t_{i+1})+Y(t_i)\right)\left(W(t_{i+1})?W(t_i)\right)={\int }_0^{T}Y(t)\mathrm{d}W(t)+\frac{1}{2}{?Y,W?}_T.$$

注意到Fisk-Stratonovich積分是線性的，但不是鞅。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的随机微分方程学习笔记03 Fisk-Stratonovich积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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