平穩(wěn)時(shí)間序列模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

1、AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；2、MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；3、ARMA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)
統(tǒng)計(jì)性質(zhì)包括5個(gè)：（1）均值；（2）方差；（3）協(xié)方差；（4）自相關(guān)系數(shù)；（5）偏自相關(guān)系數(shù)。

ARMA模型的相關(guān)性特征：

1、AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

（1）均值
如果AR§模型滿足平穩(wěn)，均值為常數(shù)。


（2）方差
求解思路：首先把序列轉(zhuǎn)化為傳遞形式，再求解方差；不能直接求解，把序列變成白噪聲的線性組合，因?yàn)榘自肼暤暮芏嘟y(tǒng)計(jì)性質(zhì)是已知的。
傳遞形式的目的：把AR模型對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列表示成關(guān)于白噪聲的線性相關(guān)組合形式；傳遞形式里面包括Green函數(shù)，Green函數(shù)的原理包括原始模式以及期待形式，用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，其中白噪聲互不相關(guān)，并且需要滿足同方差假定。
（3）協(xié)方差
兩種求解協(xié)方差（方差）的方式：

• 利用AR§模式的傳遞形式來(lái)求；
• 利用自協(xié)方差函數(shù)之間的遞推函數(shù)來(lái)求。
  （4）自相關(guān)系數(shù)
  自相關(guān)系數(shù)的定義：
  
  求解方法：
  1.用自相關(guān)系數(shù)的定義結(jié)合自協(xié)方差函數(shù)可以求解；
  2.基于傳遞形式直接求解自相關(guān)系數(shù)；
  3.基于自相關(guān)系數(shù)的遞推公式求解。
  自相關(guān)系數(shù)有拖尾性，原因是該序列值所對(duì)應(yīng)過(guò)去時(shí)刻的序列值都會(huì)影響它。
  自相關(guān)圖里拖尾的原因有兩個(gè)：
• 用樣本估計(jì)總體參數(shù)時(shí)有誤差；
• 本身自相關(guān)系數(shù)具有拖尾性，不恒等于0。

（5）偏自相關(guān)系數(shù)
定理：零均值平穩(wěn)序列為AR§序列的充要條件是平穩(wěn)序列的偏自相關(guān)系數(shù)P步截尾。
求解方法：
基于Yule-Walker方程組以及行列式來(lái)求解；
利用偏自相關(guān)系數(shù)遞推公式來(lái)求解。

2、MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

（1）均值
常數(shù)均值。
（2）方差
常數(shù)方差，利用白噪聲項(xiàng)互不相關(guān)的假定。
（3）協(xié)方差
基于自協(xié)方差函數(shù)的定義，直接利用模型表達(dá)式來(lái)求。
（4）自相關(guān)系數(shù)
自相關(guān)系數(shù)以及自協(xié)方差的計(jì)算相同，都是基于白噪聲的序列以及假定來(lái)計(jì)算的。
自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)系數(shù)q階截尾，自協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。
不同的MA（1）模型，相同的自相關(guān)系數(shù)，也就是說(shuō)自相關(guān)系數(shù)具有非唯一性，自相關(guān)系數(shù)和模型之間不是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，為了解決這個(gè)問(wèn)題，增加一個(gè)約束條件，而這個(gè)約束條件是模型的可逆條件，這就形成了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，一個(gè)自相關(guān)系數(shù)與可逆MA模型一一對(duì)應(yīng)。
（5）偏自相關(guān)系數(shù)

• 基于Yule-Walker方程和克萊姆法則求解；
• 首先求出自相關(guān)系數(shù)，然后基于偏自相關(guān)系數(shù)遞推公式求解。
  偏自相關(guān)系數(shù)具有拖尾性

3、ARMA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

ARMA模型生成的序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：均值、自協(xié)方差、自相關(guān)系數(shù)以及偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算均可參考AR和MA模型的情形。
ARMA（p,q）傳遞形式（平穩(wěn)條件）與逆轉(zhuǎn)形式（可逆條件），即無(wú)窮階MA模型與無(wú)窮階AR模型。
ARMA模型相關(guān)性特征：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的平稳时间序列模型的统计性质的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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