目錄

• 前言
• 運動控制系統的基本方程
• 常用電機模型
• PWM動態數學模型

前言

本篇文章主要參考資料為：

• 電力拖動自動控制系統——運動控制系統(第五版) 阮毅 楊影 陳伯時
• 工業運動控制——電機選擇，驅動器和控制器應用 Hakan Gurocak

運動控制系統的基本方程

$$?\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}(J{w}_m)}{\mathrm{d}t}=T_e?T_L?D{\omega }_m?K{\theta }_m\\ & \frac{\mathrm{d}{\theta }_m}{\mathrm{d}t}={\omega }_m\end{array}$$
其中:
$J$——機械轉動慣量($\mathrm{k}\mathrm{g}?{\mathrm{m}}^2$)
${\omega }_m$ ——轉子機械角速度($\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$)
${\theta }_m$ ——轉子機械角($\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$)
$T_e$ ——電磁轉矩($\mathrm{N}?\mathrm{m}$)
$T_L$ ——負載轉矩($\mathrm{N}?\mathrm{m}$)
$D$ ——阻轉矩阻尼系數
$K$——扭轉彈性轉矩系數

若忽略阻尼轉矩和扭轉彈性轉矩，運動方程可以化簡為：
$$?\begin{array}{rl}& J\frac{\mathrm{d}(w_m)}{\mathrm{d}t}=T_e?T_L\\ & \frac{\mathrm{d}{\theta }_m}{\mathrm{d}t}={\omega }_m\end{array}$$

若采用工程單位制，可以改寫上述公式中第一行為：
$$\frac{G{D}^2}{375}\frac{\mathrm{d}(n)}{\mathrm{d}t}=T_e?T_L$$
其中：
$G{D}^2$——轉動慣量，習慣稱之為飛輪力矩($\mathrm{N}?{\mathrm{m}}^2$)，$G{D}^2=4gJ$
$n$——轉子的機械轉速($\mathrm{r}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$)，$n=60{\omega }_m/2\pi$

常用電機模型

直流電動機等效電路

動態電壓方程為：
$$U_{d0}=R{I}_d+L\frac{\mathrm{d}{I}_d}{\mathrm{d}t}+E$$
忽略電動機粘性摩擦以及彈性轉矩，電動機動力學方程為：
$$J\frac{\mathrm{d}{w}_m}{\mathrm{d}t}=T_e?T_L$$
或者
$$\frac{G{D}^2}{375}\frac{\mathrm{d}(n)}{\mathrm{d}t}=T_e?T_L$$
在額定勵磁下的感應電動勢和電磁轉矩為：
$$\begin{gathered} E=C_{e}n \\ {T}_e=C_m{I}_d \end{gathered}$$
上面四個等式中：
$U_{d0}$——理想空載整流電壓
$R$——電樞回路總電阻
$L$——電樞回路總電感
$I_d$——電樞回路平均電流
$E$——感應電動勢
$C_e$——直流電動機在額定磁通下的電動勢系數
$C_m$——直流電動機在額定磁通下的轉矩系數($\mathrm{N}?\mathrm{m}/\mathrm{a}$)，有$C_m=\frac{30}{\pi }{C}_e$

再定義時間常數：

電樞回路的電磁時間常數：
$$T_l=\frac{L}{R}$$

電力拖動系統的電機時間常數：
$$T_m=\frac{G{D}^{2}R}{375C_e{C}_m}$$

整理后得：
$$\begin{gathered} U_{d0}?E=R(I_d+T_l\frac{\mathrm{d}{I}_d}{\mathrm{d}t}) \\ {I}_d?I_{dL}=\frac{T_m}{R}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} \end{gathered}$$
其中，$I_{dL}$ 為負載電流(A)，$I_{dL}=\frac{T_L}{C_m}$。

綜上，可以獲得直流電機的模型為：

在實際應用中，直流電機的扭轉彈性轉矩是可以忽略的，但是阻尼轉矩一般不可以忽略。所以，電動機的基本運動方程為：
$$\frac{\mathrm{d}(J{w}_m)}{\mathrm{d}t}=T_e?T_L?D{\omega }_m$$
在這次建模中，電動機轉速不使用工程上單位($\mathrm{n}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$)，而采用物理上常用單位($\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$)。
所以，我們需要修改感應電動勢公式為：
$$E=C_{e}n=C_e?\frac{60}{2\pi }{\omega }_m=C_m{\omega }_m$$
所以，得到模型方程組為：
$$?\begin{array}{rl}J\frac{(\mathrm{d}{w}_m)}{\mathrm{d}t}& =T_e?T_L?D{\omega }_m\\ U_{d0}& =R{I}_d+L\frac{\mathrm{d}{I}_d}{\mathrm{d}t}+E\\ E& =C_m{\omega }_m\\ T_e& =C_m{I}_d\end{array}$$
所以，可以得到模型圖為：

PWM動態數學模型

當控制參數$U_c$發生變化時，PWM輸出電壓平均值$U_d$按照線性關系對應發生變化。但是，響應會有延時，最大的延時時間為一個開關周期T。因此，PWM控制器可以看成是一個滯后環節，其傳遞參數為：
$$W_s(s)=\frac{U_d(s)}{U_c(s)}=K_s{e}^{?T_{s}s}$$
式中，
$K_s$——PWM裝置的放大系數。
$T_s$——PWM裝置的延時時間，$T_s\le T$.
系統分析是，按照最大的延時考慮，即取$T_s=T$。當開關頻率比較大的時候(如10kHz)。可以將其近似看成一個一階慣性環節，為：
$$W_s(s)\approx \frac{K_s}{T_{s}s+1}$$
注意：
實際上PWM不是一個線性環節，而是具有繼電器特性的非線性環節。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的运动控制第一篇之直流电动机建模的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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