相似矩阵的性质
相似
AAA,BBB 是兩個 nnn 階方陣,如果可存在 nnn 階可逆矩陣 PPP,使得P?1AP=BP^{-1}AP=BP?1AP=B則 AAA 和 BBB 相似,即 A~BA \sim BA~B。
注:矩陣之間有三大關系:矩陣等價(AAA 經過初等變換可以得到 BBB);矩陣相似;矩陣合同。
相似的性質
相似矩陣的性質
性質1
若 AAA, BBB 相似,則 AAA 和 BBB 有相同的特征值,AAA 和 BBB 的行列式(∣A∣=∣B∣|A|=|B|∣A∣=∣B∣)也相等,AAA 和 BBB 的秩相同,且跡(tr(A)=tr(B)tr(A)=tr(B)tr(A)=tr(B))也相等。但特征值相同并不一定相似。
性質2
A~BA \sim BA~B,AAA 可逆<=> BBB 可逆,且 A?1~B?1A^{-1} \sim B^{-1}A?1~B?1。若A~BA \sim BA~B,則 AAA 和 BBB 同時可逆或同時不可逆。
性質3
A~BA \sim BA~B,則 Am~BmA^m \sim B^mAm~Bm。
總結
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