一、

模運(yùn)算

當(dāng)答案或者運(yùn)算過程中數(shù)據(jù)太大，題目要求輸出答案對某個大數(shù)據(jù)取模，
有以下結(jié)論：

(a+b)%MOD=(a%MOD+b%MOD)%MOD (a-b)%MOD=(a%MOD-b%MOD)%MOD (a*b)%MOD=(a%MOD*b%MOD)%MOD 而除法取模需要逆元，后面會介紹

c++語言取模過程中，會遵循商盡量大的原則，所以(-5)%3=-2
這個不符合數(shù)學(xué)上取模的標(biāo)準(zhǔn)，因此使用c++對減法取模應(yīng)該寫成：

(a-b+MOD)%MOD

二、質(zhì)數(shù)

1～n當(dāng)中，大約有$\frac{n}{ln(n)}$個質(zhì)數(shù)

1、質(zhì)數(shù)篩

埃氏篩
復(fù)雜度為O(nlg(lg(n)))

const int maxn=1e6; int prime[maxn]; bool vis[maxn]; int cnt=0; void Prime(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;for(int j=i*i;j<=n;j+=i){vis[j]=true;}}} }

//此處有個小優(yōu)化，嵌套的循環(huán)內(nèi)$j$從 $i?i$ 開始，而不是$i+i$開始，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$i?(2?>i?1)$在這之前都已經(jīng)被篩去。

歐拉篩
復(fù)雜度O(n)

const int maxn=1e6; int prime[maxn]; bool vis[maxn]; int cnt=0; void Prime(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;}for(int j=1;prime[j]*i<=n;j++){vis[prime[j]*i]=true;if(i%prime[j]==0){//保證每個合數(shù)都用該數(shù)最小的質(zhì)因子篩掉//當(dāng)i%prime[j]==0的時候，說明如果j繼續(xù)加一，被篩掉的數(shù)就不是用其最小的質(zhì)因子篩去的了。break;}}} }

2、質(zhì)因數(shù)分解----試除法

任意正整數(shù)$n$最多有一個比$sqrt(n)$大的質(zhì)因子，質(zhì)因數(shù)分解模版如下：
(?????????)
質(zhì)因數(shù)分解模版

int pdivid[10000]; int cnt=0;//記錄一共有多少個質(zhì)因子 void divid(int n){for(int i=2;i<=n/i;i++){if(n%i==0){//此處i一定為質(zhì)數(shù)pdivid[++cnt]=i;int s=0;while(n%i==0){n/=i;s++;//可以計(jì)算每個質(zhì)因子出現(xiàn)的次數(shù)，這份代碼不記錄這個數(shù)}}}if(n>1){pdivid[++cnt]=n;} } int main(){int n;cin>>n;divid(n);cout<<pdivid[cnt]<<endl; }

三、約數(shù)

1、試除法

直接枚舉從1~sqrt(n)所有的數(shù)字，可以得到n所有的約數(shù)。
每個數(shù)的約數(shù)個數(shù)期望為lg(n).

2、約數(shù)個數(shù)和約數(shù)之和

先對N進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，假設(shè)分解后：
o(｀ω′ )o：：：：：

$N==p_1^{c_1}?p_2^{c_2}?...?p_k^{c_k}$

（pi為質(zhì)因子，ci為質(zhì)因子對應(yīng)的次數(shù)）

那么N的約數(shù)個數(shù)為：：
$(c1+1)?(c2+1)?...?(ck+1)$

N的約數(shù)之和為：：
$(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{c_1})?...?(p{k}^0+p{k}^1+...+p{k}^{c_k})$
（把上式子展開后，直接看出為計(jì)算每個約數(shù)的和）

const int mod=1e9+7; int main(){int n;cin>>n;unordered_map<int,int> primcnt;while(n--){int x;cin>>x;for(int i=2;i<=x/i;i++){while(x%i==0){x/=i;primcnt[i]++;}}if(x!=1){primcnt[x]++;}}ll ans=1;//遍歷mapfor(auto prim:primcnt){ans=(ans*(prim.second+1))%mod;}cout<<ans<<endl; }

3、最大公約數(shù)（gcd）

歐幾里得算法

$gcd(a,b)=gcd(b,a$

（好神奇啊！）? ????

int gcd(int a,int b){if(b==0){return a;}elsereturn gcd(b,a%b); }

四、歐拉函數(shù)

1、定義
歐拉函數(shù)是小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目（比如$\phi (1)=1$）

2、公式
$\phi (N)=N?(1?\frac{1}{p_1})?.....?(1?\frac{1}{p_i})$
其中$p_i$為$N$的質(zhì)因子。

3、篩法求1～n的歐拉函數(shù)

void get_eulers(int n){//得到1～n所有歐拉函數(shù)的值//其實(shí)是歐拉篩變體int cnt=0;phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;//如果這個數(shù)是個素?cái)?shù)，顯然在1～i之間，有i-1個數(shù)與其互質(zhì)phi[i]=i-1;}for(int j=1;prim[j]*i<=n&&j<=cnt;j++){vis[i*prim[j]]=1;if(i%prim[j]==0){//如果prim[j]是i的因子//根據(jù)公式，phi[i]=i*(1-1/P1)*...*(1-1/Pi)//i*prim[j]的所有因子跟i相同//phi[i*prim[i]]=prim[i]*i*(1-1/P1)*...*(1-1/Pi)=phi[i]*prim[i]phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];break;}//如果prim[j]不是i的因子//那么i*prim[j]的因子與i相差一個prim[j]//phi[i*prim[i]]=phi[i]*prim[j]*(1-1/prim[j])=phi[i]*phi[prim[j]]phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);}} }

歐拉定理

如果a與n互質(zhì)，那么$a^{phi(n)}\equiv 1(modn)$.

四、快速冪

ll my_pow(int a,int k,int p=1e9+7){ll res=1;while(k){if(k&1){//如果k不能整除2res=(res*a)%p;}k>>=1;a=(a*a)%p;//讓底數(shù)平方}return res; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数论入门 2021-2-28的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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