一、

模運算

當答案或者運算過程中數據太大，題目要求輸出答案對某個大數據取模，
有以下結論：

(a+b)%MOD=(a%MOD+b%MOD)%MOD (a-b)%MOD=(a%MOD-b%MOD)%MOD (a*b)%MOD=(a%MOD*b%MOD)%MOD 而除法取模需要逆元，后面會介紹

c++語言取模過程中，會遵循商盡量大的原則，所以(-5)%3=-2
這個不符合數學上取模的標準，因此使用c++對減法取模應該寫成：

(a-b+MOD)%MOD

二、質數

1～n當中，大約有$\frac{n}{ln(n)}$個質數

1、質數篩

埃氏篩
復雜度為O(nlg(lg(n)))

const int maxn=1e6; int prime[maxn]; bool vis[maxn]; int cnt=0; void Prime(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;for(int j=i*i;j<=n;j+=i){vis[j]=true;}}} }

//此處有個小優化，嵌套的循環內$j$從 $i?i$ 開始，而不是$i+i$開始，因為$i?(2?>i?1)$在這之前都已經被篩去。

歐拉篩
復雜度O(n)

const int maxn=1e6; int prime[maxn]; bool vis[maxn]; int cnt=0; void Prime(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;}for(int j=1;prime[j]*i<=n;j++){vis[prime[j]*i]=true;if(i%prime[j]==0){//保證每個合數都用該數最小的質因子篩掉//當i%prime[j]==0的時候，說明如果j繼續加一，被篩掉的數就不是用其最小的質因子篩去的了。break;}}} }

2、質因數分解----試除法

任意正整數$n$最多有一個比$sqrt(n)$大的質因子，質因數分解模版如下：
(?????????)
質因數分解模版

int pdivid[10000]; int cnt=0;//記錄一共有多少個質因子 void divid(int n){for(int i=2;i<=n/i;i++){if(n%i==0){//此處i一定為質數pdivid[++cnt]=i;int s=0;while(n%i==0){n/=i;s++;//可以計算每個質因子出現的次數，這份代碼不記錄這個數}}}if(n>1){pdivid[++cnt]=n;} } int main(){int n;cin>>n;divid(n);cout<<pdivid[cnt]<<endl; }

三、約數

1、試除法

直接枚舉從1~sqrt(n)所有的數字，可以得到n所有的約數。
每個數的約數個數期望為lg(n).

2、約數個數和約數之和

先對N進行質因數分解，假設分解后：
o(｀ω′ )o：：：：：

$N==p_1^{c_1}?p_2^{c_2}?...?p_k^{c_k}$

（pi為質因子，ci為質因子對應的次數）

那么N的約數個數為：：
$(c1+1)?(c2+1)?...?(ck+1)$

N的約數之和為：：
$(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{c_1})?...?(p{k}^0+p{k}^1+...+p{k}^{c_k})$
（把上式子展開后，直接看出為計算每個約數的和）

const int mod=1e9+7; int main(){int n;cin>>n;unordered_map<int,int> primcnt;while(n--){int x;cin>>x;for(int i=2;i<=x/i;i++){while(x%i==0){x/=i;primcnt[i]++;}}if(x!=1){primcnt[x]++;}}ll ans=1;//遍歷mapfor(auto prim:primcnt){ans=(ans*(prim.second+1))%mod;}cout<<ans<<endl; }

3、最大公約數（gcd）

歐幾里得算法

$gcd(a,b)=gcd(b,a$

（好神奇啊！）? ????

int gcd(int a,int b){if(b==0){return a;}elsereturn gcd(b,a%b); }

四、歐拉函數

1、定義
歐拉函數是小于n的正整數中與n互質的數的數目（比如$\phi (1)=1$）

2、公式
$\phi (N)=N?(1?\frac{1}{p_1})?.....?(1?\frac{1}{p_i})$
其中$p_i$為$N$的質因子。

3、篩法求1～n的歐拉函數

void get_eulers(int n){//得到1～n所有歐拉函數的值//其實是歐拉篩變體int cnt=0;phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;//如果這個數是個素數，顯然在1～i之間，有i-1個數與其互質phi[i]=i-1;}for(int j=1;prim[j]*i<=n&&j<=cnt;j++){vis[i*prim[j]]=1;if(i%prim[j]==0){//如果prim[j]是i的因子//根據公式，phi[i]=i*(1-1/P1)*...*(1-1/Pi)//i*prim[j]的所有因子跟i相同//phi[i*prim[i]]=prim[i]*i*(1-1/P1)*...*(1-1/Pi)=phi[i]*prim[i]phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];break;}//如果prim[j]不是i的因子//那么i*prim[j]的因子與i相差一個prim[j]//phi[i*prim[i]]=phi[i]*prim[j]*(1-1/prim[j])=phi[i]*phi[prim[j]]phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);}} }

歐拉定理

如果a與n互質，那么$a^{phi(n)}\equiv 1(modn)$.

四、快速冪

ll my_pow(int a,int k,int p=1e9+7){ll res=1;while(k){if(k&1){//如果k不能整除2res=(res*a)%p;}k>>=1;a=(a*a)%p;//讓底數平方}return res; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论入门 2021-2-28的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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