目錄

• 矩量法介紹
• • 矩量法的經典例子
  • 矩量法一般情況
  • 常見的積分方程
  • • 格林函數
    • 泊松方程
    • 亥姆霍茲方程
• 矩量法的應用
• • 帶狀傳輸線的特征阻抗

矩量法介紹

矩量法的經典例子

如下圖所示是帶有電荷的一段有限直導線，導線上的電荷分布是不均勻的（因為電荷存在同性互斥的作用，導致兩端電荷密度大，中間電荷密度小），空間中任一點電位定義為Φ_e (r )，r為場點的位置，而r^，定義為源點。

將其分割成很多小區域，每一段的長度為Δx，那么原有的源點與場點的距離可表示為如下（為了分析簡單，忽略z軸方向）：

定義一個近似的解：首先假定電荷的密度在每一小段Δx上是均勻的，那么可以將電荷密度定義為脈沖函數的累加：

u_n(x)是基函數，在變分法的介紹中，我們定義的是全域的基函數，但是全域的基函數不好找（滿足完備和邊界兩個條件），而且對于通用的算法的時候，我們是沒有辦法知道需要計算什么模型的，不能保證這個基函數適用于所有模型。
所以我們需要定義一個子域的基函數，例如上述的例子，將其劃分為不同的區域，每個區域中的邊界條件，和場量變化是相對簡單的。但這個基函數只適用于這個子域。

定義電位為1（導線內部和外部電位是相等的），對公式進行變形，利用了脈沖函數的特性將累加符號移到外部：

其中為了處理奇異點的問題（分母有可能為0），如果源點和場點位于不同的子段的時候分母肯定不為0，但是如果源點和場點位于同一個子段，則存在為0的情況，將半徑固定為a，場點固定在導體表面，則距離改寫為：

將累加符號展開，然后因為脈沖函數的定義，所以積分項會有變化，方程左邊是精確解，方程右邊是近似解，兩個一減就是殘差。有了殘差以后，再選擇加權函數與其內積，另加權函數內積為0（也就是余數R=0），那么就可以讓近似解與精確解盡可能的相同了。

如果選擇加權函數為（點匹配法）函數

得到矩陣如下，其中Z_mn對應就是對應的積分項，我們可以對比一下之前加權余數法的矩陣**A_mn**就很清楚了，在矩量法這里依然是<w_m,Lu_n>，加權函數也是一樣，只不過是我們的算子不同，un不同。算子變成了積分算子，un是子域內作用，而不是全域的。

可以對比一下

近似來實現，

矩量法一般情況

上述是矩量法應用的簡單例子，為了讓大家更好理解，是對于特定的模型舉例介紹的，這里將介紹矩量法更一般的情況下應該如何來做。
金屬的帶電導體產生的的電位可以表示成如下的形式：

其中關于格林函數G（r，r^，）詳細解釋可以參考電磁場理論——3.4 格林函數及其解，這里簡單的解釋一下它的含義，對于點源（r^，) 在空間中某點（r）的響應為G（r，r^，），像上述矩量法經典例子（靜電場）中的格林函數就可以表示成如下形式：

如果響應位于金屬表面，則其電位必須為常數，電位寫成Φ，然后可以表示成：
ρ_s(r^，)為電荷密度，這個是未知的，是待求的，這里需要注意之前變分法的介紹中Φ這個符號通常是表示近似解，它是待求量，這里表示一個電位，是確定值，相當于變分法介紹中的源（g）。

接著定義一個局域的基函數來表示ρ_s(r^，)的近似解：

將其回代到Φ的公式中，將積分符號移到求和符號內得到：

選擇一組加權函數與積分方程的內積（即之前介紹過的加權余數法）

將上述內積展開得到：

這里關鍵還是關于加權函數怎么選取，選取不同函數代表著不同方法（點匹配法、伽遼金法、子域法、最小二乘法）
實際上對于，這里積分符號較多，如果單純應用點匹配法的話計算起來會簡單一些。
將上述的積分公式寫成緊湊的格式如下：

常見的積分方程

一般有兩大類：

第一大類是Fredholm equations，它又可以分成三種積分方程：

因為是對t進行積分，所以積分后得到的是f關于x的函數；后面的兩種積分方程前面的一項表示邊界條件。其中K（x,t）是積分方程中的核函數，對應電磁問題中就是上面我們介紹的格林函數。Φ（t）就是我們的待求量；注意，很多情況下，核函數變換其實是很劇烈的，積分的作用就是起到了平滑的作用，另外Fredholm積分方程中普遍會有一個問題，就是我們之前提到的奇異點的問題（在我們上面講的經典例子中，也有處理這個奇異點的步驟）
那么如果積分的邊界處（a,b）有一個是未知的話，則表示成第二種積分方程：

第二大類是Volterra equations

這類積分方程在電磁問題種很少使用到，所以不過多討論。

• 如何將微分方程和積分方程聯立起來
  如下所示， 為一階的微分方程，Φ(a) = constant（滿足狄利克雷邊界條件）
  

  若要求出（a，b）之間任意一點的電位Φ，將微分方程左右都進行積分，就可以把它寫成Volterra積分方程如下：
  相似的，如果是一個二階的微分方程的情況下，只要將方程左右做兩次積分就可以了：
  
  第一次積分，Φ^，(a)是紐曼邊界條件；第二次積分需要在第一次積分的基礎上利用分部積分得到：

格林函數

格林函數可以這么理解：看成是一個單位電量的點電荷在一個場點處產生的電位；
對于不同的問題，格林函數的形式有所不同：

• Dirichlet problem：（狄利克雷問題）實際上也是一個泊松方程
  
  上面R代表Φ的取值空間，B是指的R的邊界，所以第二個方程代表邊界條件
  這里直接給出Φ的積分形式：（利用分部積分得到）
  
  1、格林函數的物理意義：對于一個線性的二階偏微分方程：LΦ = g；可以看成點電荷（g）產生的響應（Φ），所以將g換成點電荷δ（r，r^，），然后得到的響應電位Φ就是格林函數了；
  對格林函數進行積分后得到場點處的點電荷
  2、格林函數的性質：
  （1）由于Dirichlet函數的性質可知，除了點電荷的位置以外，其他任何一點代入這個算子方程中都會得到LG（r，r^，）=0，也就是說在r = r^，處LG才不等于0，而在r為其他取值的時候，LG都是等于0的。
  
  （2）因為格林函數是點電荷的響應，而點電荷本身就是滿足對稱性的，也就是說把點電荷從源點的位置A放到了場點的位置B，那么B在A處的格林函數和原來A在B處的格林函數值是相同的。
  
  （3）格林函數要滿足邊界條件；
  
  （4）應用散度定理可以得到如下性質，格林函數在源點處即e趨于0的時候（e = r-r^,），它的偏導數是不連續的（格林函數的方向導數的面積分是等于1的）
  
• 對于Dirichlet邊界條件下格林函數的形式：
  假定格林函數有兩個函數來構成，因為我們要考慮邊界的情況；
  
  F定義為自由空間的格林函數，或者稱為基礎解，F在整個域內都滿足如下公式：
  
  U滿足在整個域的空間內LU = 0的
  
  還有一個問題就是邊值問題：G = F + U滿足：
  
  而G = f在邊界處B需要滿足：
  
  F表示F(r,r^,)在邊界處的值，f是已知的邊值條件

舉例：

• 拉普拉斯算子（二維問題）
• 亥姆霍茲方程算子（三維問題）

泊松方程

亥姆霍茲方程

矩量法的應用

帶狀傳輸線的特征阻抗

表面電荷密度ρ（x，y）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的电磁仿真原理——4. 矩量法（Moment Methods）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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