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雙線性變換的概念

雙線性變換表達式

保留穩定性及最小相位性質

防混疊性質

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在數字信號處理和離散時間的控制理論中，雙線性變換（Tustin變換）被用來在連續時間系統與離散時間系統做轉換。

雙線性變換的概念

雙線性變換是一種特別的共形映射（即莫比烏斯變換，又稱保形變換），常被用來將線性非時變系統濾波器在連續時域的傳遞函數轉換成線性且平移不變濾波器在離散時域的傳遞函數。將s平面中位置在軸的點映射到復平面上的單位圓。其他的應用還有扭曲任何的離散時間線性系統的頻率響應（例如用來估計人類聽覺系統的非線性頻率清晰度）或是被用在離散域以取代一個系統經過一階全通濾波器的單位延遲。

這種變換保有穩定性且將連續時間濾波器的頻率響應中每一點映射到離散時間濾波器的頻率響應中所對應的點，雖然頻率會有點不同，這部分會在之后的頻率扭曲中解釋。對于模擬濾波器的頻率響應中所看到的特征，在數字濾波器的頻率響應中都有相同增益和相位平移的對應特征，雖然頻率可能有點不同，在低頻時很難觀察到但在頻率接近Nyquist頻率時就相當明顯。

雙線性變換表達式

雙線性變換是自然對數函數的一階估計法，也就是將z平面映射到s平面，當拉普拉斯變換被用在離散時間信號上（將離散時間串行中的每個元素附在對應的延遲狄拉克函數），其結果確實為將離散時間串行的Z變換替代成：

其中T是用在推導雙線性變換的梯形公式中數值積分每階的大小，換句話說就是采樣間距。上式中分子和分母與s都是線性關系，所以這個式子就叫雙線性變換。上述的雙線性估計可以透過s來解或是產生一個近似估計。

逆映射則為：

雙線性變換的本質是使用這種一階估計法且將連續時間傳遞函數中s替換成：

也就是說：

保留穩定性及最小相位性質

如果有一個連續時間且有因果性的濾波器，其傳遞函數的極點落在復數s平面的左半邊，此濾波器則為穩定的。如果有一個離散時間且有因果性的濾波器，其傳遞函數的極點落在復數z平面的單位圓內，此濾波器則為穩定的。雙線性變換將復數s平面的左半邊映射到復數z平面的單位圓內，因此穩定的連續時間濾波器被轉變成離散時間濾波器后也保有穩定性。

另外是一個任意正常數，用來把模擬頻率映射到數字頻率。在高通或低通濾波器中，其通常用來使模擬和數字之間的截止頻率等同。根據上面關系可知s域負半軸平面與z域中的單位圓內相對應。

將和（T為采樣間隔）代入雙線性變換公式可以得到：

當模擬域的截止頻率時，常數c：

上式中的為數字濾波器的截止頻率。

防混疊性質

另外雙線性變換可以防止頻譜的混疊：

可以得到：

可以寫出上式的逆變換：

上式中是數字角頻率，是模擬角頻率。

可以將上式畫出相應的曲線：

可以看出所有的模擬角頻率都被壓縮到之中，但是卻依然能保持單值對應，雖然消滅了頻譜混疊，但是由于這個出發點是在原點進行泰勒展開做近似的，最后的頻譜會存在一定的失真。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的双线性变换（Tustin transform/bilinear transformation）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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