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文章目錄

• 前言
• 一、前置知識
• • 1.域
  • • 1.1有限域
  • 2.群
  • • 2.1 群
    • 2.2 循環群
• 二、什么是雙線性映射？
• 三、驗證
• • 1.導包
  • 2.實現代碼
  • 3.運行結果

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前言

對于學習雙線性映射知識過程中的一些理解

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一、前置知識

如果對這部分知識比較了解可略過

1.域

域中元素進行加法、減法、乘法、除法之后運算的結果依然在域內
ex: 有理數集合，實數集合 反例：整數集合

1.1有限域

域F只包含有限個元素
階：有限域中元素的個數稱為有限域的階；每個有限域的階必為素數的冪，即有限域的階可表示為$p^n$(p為素數，n是正整數），記為GF($p^n$)

2.群

2.1 群

群G有四個特性(設該群為乘法群）
1.封閉性，群中元素進行乘法運算后的結果依然在群中
2.結合律，$?$a,b,c $\in$G, a$\times$(b$\times$c) = (a$\times$b)$\times$c
3.存在單位元（幺元） $?$e $\in$ G,$?$a $\in$ G, a$\times$e = e$\times$a = e （加法的單位元是0，乘法的單位元是1）
4.任意元素都存在逆元 $?$e $\in$ G, $?$a $\in$ G, $?$$a^{?1}$$\in$ G , a$\times$$a^{?1}$ = $a^{?1}$$\times$a = e

2.2 循環群

循環群中所有的元素都是由一個元素生成，也就是所有的元素都是形如$g^n$ = g$?$g$?$ $?$$?$$?$ $?$g(n個g)，n為任意整數。這個生成所有元素的元素g稱為生成元

循環群的階：設G是由g$\in$G生成的循環群，使得$g^n=e$成立的最小正整數n稱為群G的階，記作|G|=n
如果|G|=n，則$g^n$=e(單位元)，群G為有限循環群
G={$g$,$g^2$,$g^3$,$?$$?$$?$,$g^n=e$}

二、什么是雙線性映射？

雙線性映射有三個特性：
1、雙線性， 即 $?$$u,v$ $\in$ G,$a,b$ $\in$ $Z_p$ , e($u^a,v^b$) = e($u,v{)}^{ab}$
2、非退化性， $e(g,g)$ $=$ 1
3、可計算性，存在有效的算法實現該映射

三、驗證

1.導包

導入JPBC相關jar包

2.實現代碼

import it.unisa.dia.gas.jpbc.Element; import it.unisa.dia.gas.jpbc.Field; import it.unisa.dia.gas.jpbc.Pairing; import it.unisa.dia.gas.plaf.jpbc.pairing.PairingFactory;public class JPBCDemo {public static void main(String[] args) {Pairing bp = PairingFactory.getPairing("a.properties");Field Zr = bp.getZr();Field G1 = bp.getG1();Field G2 = bp.getG2();Element g1 = G1.newRandomElement();Element g2 = G2.newRandomElement();Element a = Zr.newRandomElement();Element b = Zr.newRandomElement();Element g_a = g1.duplicate().powZn(a);Element g_b = g2.duplicate().powZn(b);Element egg_ab = bp.pairing(g_a, g_b);Element egg = bp.pairing(g1, g2);Element ab = a.duplicate().mul(b);Element egg_ab_p = egg. duplicate().powZn(ab);if (egg_ab .isEqual(egg_ab_p))System.out.println("Yes");elseSystem.out.println("No");} }

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3.運行結果

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的双线性映射（Bilinear Maps）实现（有限域、循环群）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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