在數論中，一個雙線性映射是由兩個向量空間上的元素，生成第三個向量空間上一個元素之函數，并且該函數對每個參數都是線性的。最簡單的例子：
$$xy\to z,x,y\in R$$

1. 雙線性映射

設 $V,W$ 和 $X$ 是在同一個基礎域F上的三個向量空間。雙線性映射是函數：
$$B:V\times W\to X$$

使得對于任何 $W$ 中 $w$，映射
$$v?B(v,w?)$$

是從 $V$ 到 $X$ 的線性映射，并且對于任何 $V$ 中的 $v$，映射
$$w?B(v,w?)$$

是從 $W$ 到 $X$ 的線性映射。

換句話說，如果保持雙線性映射的第一個參數固定，并留下第二個參數可變，結果的是線性算子，如果保持第二個參數固定也是類似的。

2. 對稱雙線性映射

如果 $V=W$ 并且有 $B(v,w?)=B(w,v?)$ 對于所有 $V$ 中的 $v,w$，則我們稱 $B$ 是對稱的。

3. 雙線性形式

當這里的 $X$ 是 $F$ 的時候，我們稱之為雙線性形式，它特別有用(參見例子標量積、內積和二次形式)。

4. 多線性

如果使用在交換環R上的模替代向量空間，定義不需要任何改變。還可容易的推廣到 $n$ 元函數，這里正確的術語是“多線性”。

對非交換基礎環 $R$ 和右模 $M_R$與左模${}_{R}N$的情況，我們可以定義雙線性映射 $B:M\times N\to T$，這里的 $T$ 是阿貝爾環，使得對于任何 $N$ 中的 $n$，$m?B(m,n)$ 是群同態，而對于任何 $M$ 中的 $m$, $n?B(m,n)$ 是群同態，并還滿足
$$B(mt,n?)=B(m,tn?)$$

對于所有的 $M$ 中的 $m$，$N$中 $n$ 和 $R$ 中的 $t$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的什么是双线性映射（Bilinear Mapping ）?的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。