問題描述

在求解線性規(guī)劃問題中碰到絕對值的情況:

$$minz=|x_1|+2|x_2|+3|x_3|+4|x_4|,$$
$$s.t.?\begin{array}{rlrl}& x_1?x_2?x_3+x_4& =& 0,\\ & x_1?x_2+x_3?3x_4& =& 1,\\ & x_1?x_2?2x_3+3x_4& =& ?\frac{1}{2},\end{array}$$

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原因分析：

我們想用matlab的linprog函數(shù)進行求解，需要將其轉(zhuǎn)化成為matlab中線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式

但是，對于絕對值的出現(xiàn)，導(dǎo)致我們無法輕易進行轉(zhuǎn)換。

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解決方案：

由于絕對值阻礙了我們的轉(zhuǎn)換，因此解決問題的主要思路便是去絕對值，再轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式后進行求解。

絕對值轉(zhuǎn)換

目標(biāo)：去除絕對值，且使得相應(yīng)的變量的范圍全部大于0；
要點：$?x_i\in R;u_i,v_i\ge 0$ 滿足以下條件

$$x_i=u_i?v_i,\left|x_i\right|=u_i+v_i$$

對于分解的過程，取$u_i=\frac{x_i+|x_i|}{2},v_i=\frac{|x_i|?x_i}{2}$

因此，上述目標(biāo)函數(shù)在去除絕對值之后為：

$$minz=u_1+v_1+2(u_2+v_2)+3(u_3+v_3)+4(u_4+v_4),$$
$$s.t.?\begin{array}{rlrl}& u_1?v_1?u_2?v_2?u_3?v_3+u_4?v_4& =& 0,\\ & u_1?v_1?u_2?v_2+u_3?v_3?3(u_4?v_4)& =& 1,\\ & u_1?v_1?u_2?v_2?2(u_3?v_3)+3(u_4?v_4)& =& ?\frac{1}{2},\end{array}$$
成功去除絕對值，后續(xù)根據(jù)matlab中線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式 分別求解出$f^T,A,B,Aeq,Beq,lb,ub$
本題的matlab代碼如下:

clc,clear c=1:4; c=[c,c]'; aeq=[1 -1 -1 1; 1 -1 1 -3; 1 -1 -2 3;]; beq=[0 1 -1/2]; aeq=[aeq,-aeq]; [uv,val]=linprog(c,[],[],aeq,beq,zeros(8,1)); x=uv(1:4)-uv(5:end)

最終求得最優(yōu)結(jié)果為：
$$x_1=0.25;x_2=0;x_3=0;x_4=?0.25;val=1.25$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【MATLAB】线性规划问题中的绝对值问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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