導言

收集和理解高中數學中的各種常見的模型，對理解高中數學內容會有很大的幫助。現舉例如下，待有空再整理。

集合包含模型

比如，集合(A)為定集，集合(B)為動集，且題設中有條件(Bsubseteq A)，則常常需要針對集合(B)分類討論：(B=varnothing)或者(B
eqvarnothing)；

二次函數恒成立模型

希望能理解和掌握以下的常用轉化。^[1]

已知[仿二次]函數(f(x)=ax^2+bx+cge 0)在(R)上恒成立的充要條件是(left{egin{array}{l}{a>0}\{Deltaleq 0}end{array}ight.)或(left{egin{array}{l}{a=b=0}\{cge 0}end{array}ight.)。
已知二次函數(f(x)=ax^2+bx+cge 0(a
eq 0))在(R)上恒成立的充要條件是(left{egin{array}{l}{a>0}\{Deltaleq 0}end{array}ight.)；
已知二次函數(f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a
eq 0))在(R)上恒成立的充要條件是(left{egin{array}{l}{a<0}\{Delta leq 0}end{array}ight.)；
已知二次函數(f(x)=ax^2+bx+cge 0(a> 0))在([m，n])上恒成立的充要條件的寫法有兩種形式：
其一是(left{egin{array}{l}{-cfrac{b}{2a}leq m}\{f(m)ge 0}end{array}ight.)或(left{egin{array}{l}{-cfrac{b}{2a}ge n}\{f(n)ge 0}end{array}ight.)或(left{egin{array}{l}{m<-cfrac{b}{2a}<n}\{f(-cfrac{b}{2a})ge 0}end{array}ight.)；
其二是(Delta leq 0)或(left{egin{array}{l}{Delta>0}\{-cfrac{b}{2a}leq m}\{f(m)ge 0}end{array}ight.)或(left{egin{array}{l}{Delta>0}\{-cfrac{b}{2a}ge n}\{f(n)ge 0}end{array}ight.)
已知二次函數(f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a> 0))在([m，n])上恒成立的充要條件是(left{egin{array}{l}{f(m)leq 0}\{f(n)leq 0}end{array}ight.)；

求參數范圍模型

參數的判斷原則，題目中求誰的范圍，那么誰就是參數，另一個很自然就歸并為自變量了。

A、函數型恒成立

①一元一次型，求解方法：變換主元法^[2]

②一元二次(R)型，求解方法： 二次項系數+ (Delta)法^[3]

③一元二次區間型，求解方法：分類討論或分離參數法^[4]

B、最值型恒成立

解題必備：必備值域求法；分類討論、數形結合思想；學會分離變量法；區別最值型恒成立和有解問題。

①(Aleq f(x))在(xin[a，b])上恒成立(或 (Age f(x)))，等價于(Aleq f(x)_{min})或(Age f(x)_{max})。

②（注意具體題目中可能A為代數式，如(A=m^2+2m)）

(g(m)leq f(x))在(xin［a，b］)上恒成立形式(或(g(m)ge f(x)))，等價于(g(m)leq f(x)_{min})，(xin［a，b］)時(或(g(m)ge f(x)_{max}))。

③(forall xin D，f(x)>g(x))型 同時注意“單變量”和“雙變量”類型在轉化時的區別,直接型恒成立和間接型恒成立

C、絕對值型恒成立

①(|f(x_1)-f(x_2)|leq c) 即就是 (|f(x_1)-f(x_2)|leq f(x)_{max}－f(x)_{min}leq c)

②$forall x_1， x_2in D $， (|f(x_1)-f(x_2)|leq a|x_1-x_2|)^[5]

恒成立(能)(恰)模型

相關閱讀：1、恒成立、能成立和恰成立三類命題賞析；2、恒成立能成立和恰成立習題；

二次方程根的分布模型

1、相關閱讀：一元二次方程根的分布；

方程有解模型

1、相關閱讀：方程有解習題；

2、相關閱讀：函數的零點和極值點；

可以轉化為方程有解的題目：

① 函數(f(x))有極值點；則導函數方程(f '(x)=0)在給定區間有解，且解為變號零點。

② 函數(f(x))在給定區間不單調(Longrightarrow)函數(f(x))有極值點(Longrightarrow)則導函數方程(f '(x)=0)在給定區間有解，且解為變號零點。

抽象不等式模型

(f(M)ge f(N))，函數的定義域為(D)，脫掉(f)后等價于從兩個角度轉換，即單調性+定義域兩個角度。^[6]

引例：已知函數(f(x)=2015^x-log_{2015}(sqrt{x^2+1}-x)-2015^{-x}+2)，求解不等式(f(3x+1)+f(x)>4)
分析：此類題目一般的思路是把左右轉化為形如(f(M)≥f(N))，然后再脫掉(f),就可以求解了，但是左邊需要這樣的性質：(f(x)+f(y)=f(xy))，
右邊也需要將4(f)化，經過嘗試，這個性質(f(x)+f(y)=f(xy))并不滿足，由原題可得(f(0)=2)，也并不能順利的將4(f)化，所以我們得變換思路。
先考慮函數的奇偶性，發現(f(-x)+f(x)=4),這樣將右端的4做一個代換，就得到(f(3x+1)+f(x)>f(x)+f(-x))，整理后就成了(f(3x+1)>f(-x))，
接下來用單調性脫掉符號(f)即可求解。
解析：由題目可知函數的定義域為(R)，函數的各個部分(2015^x)單增，(-log_{2015}(sqrt{x^2+1}-x))單增，(-2015^{-x}+2)單增，所以(f(x))單增，
又(f(-x)+f(x)=4)，所以帶入原不等式得到(f(3x+1)+f(x)>f(x)+f(-x))，
故有(f(3x+1)>f(-x))，定義域為(R)，單增，則有(3x+1>-x)，解得(x>-cfrac{1}{4})。
解后反思：
【題目原始模型】(log_2 (x+1)>log_2 (2-x))，由于單調性，定義域是隱含已知的，故轉化為不等式組(egin{cases} &0 < x+1 \ &0 <2-x \ &2-x<x+1end{cases})
【題目抽象模型】(已知函數f(x)的定義域是[-1,1])，且滿足(forall x_1，x_2in [-1，1]，(x_1-x_2)cdot(f(x_1)-f(x_2))>0)，解不等式(f(2x-1)>f(2-3x))，仿上，你會轉化嗎？
【再增加難度】(已知函數f(x)的定義域是[-1,1])，且滿足(forall x_1，x_2in [-1，1]，(x_1-x_2)cdot(f(x_1)-f(x_2))>0)，(f(x)+f(y)=f(xy))，解不等式(f(2x-1)+f(2-3x)>f(0))，仿上，你會轉化嗎？
【再增加難度】(已知函數f(x)的定義域是[-1,1])，且滿足(forall x_1，x_2in [-1，1]，(x_1-x_2)cdot(f(x_1)-f(x_2))>0)，(f(-x)+f(x)=0)，解不等式(f(2x-1)+f(2-3x)>0)，仿上，你會轉化嗎？

函數不等式模型

實質：帶有前提條件的替換^[7]

已知函數(f(x) = egin{cases}log_2^x &x>0 \ 2^x &xleq 0 end{cases})，若(f(a)ge 1)，求(a)的取值范圍。
分析：原函數不等式等價于不等式組(egin{cases}a>0\log_2^age 1 end{cases})或者(egin{cases} aleq 0 \ 2^age 1 end{cases})，

三角函數模型

涉及三角函數相關的變換的問題中，最多見的變形方向就是轉化為正弦型；^[8]

(y=asinx+bcosx) (Longrightarrow) (y=Asin(omegacdot x+phi)+k)后，可以常規化得求周期、值域、對稱軸、對稱中心、單調區間、奇偶性等。
引例1設(alpha)，(etain [0，pi])，且滿足(sinalpha coseta-cosalpha sineta=1)，則(sin(2alpha-eta)+sin(alpha-2eta))的取值范圍是【】

$A.[-sqrt{2}，1]$ $B.[-1，sqrt{2}]$ $C.[-1，1]$ $D.[1，sqrt{2}]$
簡析：$sin(alpha-eta)=1$，又$alpha-etain [-pi，pi]$，則可得到$alpha-eta=cfrac{pi}{2}$，代入$sin(2alpha-eta)+sin(alpha-2eta)$，得到
$sin(2alpha-eta)+sin(alpha-2eta)=cdots=-sqrt{2}sin(eta-cfrac{pi}{4})in [-sqrt{2}，1]$，故選$A$.
引例2已知函數$f(x)=cos(2x-cfrac{pi}{3})-2sin(x-cfrac{pi}{4})sin(x+cfrac{pi}{4})$，
(1).求函數$f(x)$圖像的對稱軸方程；
分析：注意到$(cfrac{pi}{4}+x)+(cfrac{pi}{4}-x)=cfrac{pi}{2}$，則$sin(x+cfrac{pi}{4})=cos(cfrac{pi}{4}-x)$，且滿足$cos(cfrac{pi}{4}-x)=cos(x-cfrac{pi}{4})$，故$f(x)=cfrac{1}{2}cos2x+cfrac{sqrt{3}}{2}sin2x-2sin(x-cfrac{pi}{4})cos(x-cfrac{pi}{4})=cfrac{1}{2}cos2x+cfrac{sqrt{3}}{2}sin2x-sin(2x-cfrac{pi}{2})=cdots=sqrt{3}sin(2x+sqrt{3})$，接下來使用模型函數求其對稱軸方程；下同。
(2).求函數$f(x)$在區間$[-cfrac{pi}{12}，cfrac{pi}{2}]$上的值域；

數列中求通項公式，求和公式

累加法、累乘法模型

錯位相減法，

模型函數

研究透徹函數(f(x)=sinx)的性質，可以正向遷移研究(y=Asin(omegacdot x+phi)+k)的各種性質；

平行線法求切線模型

理解和掌握常見的求曲線的切線的思路和方法。^[9]

例函數(y=kx)與函數(y=lnx)相切于點(Q)，求點(Q)的坐標。((e，1))

分析：設函數(y=kx)與函數(y=lnx)切點為(Q(x_0,y_0))，則有

(left{egin{array}{l}{y_0=kx_0}\{ y_0=lnx_0 }\{k=f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}}end{array}ight.)；

從而解得(x_0=e，y_0=1，k=cfrac{1}{e})，

故切點(Q)的坐標為((e，1))，此時的切線的斜率為(k=cfrac{1}{e}) 具體參見課件

例【引申為曲線上的點到直線上的點的最小值，平行線法。】直線(y=x)上的動點為(P)，函數(y=lnx)上的動點是(Q)，求(|PQ|)的最小值。
【等價題目】直線(y=x)上的點為(P(x，y))，函數(y=lnx)上的點是(Q(m，n))，求(sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2})的最小值。
思路：平行線法，設和直線(y=x)平行且和函數(y=lnx)相切的直線為(y=x+m)，
切點為(P_0(x_0,y_0))，則有(egin{cases} y_0=x_{0}+ m \ y_0=lnx_0 \ f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}=1end{cases})；
從而解得(x_0=1,y_0=0,m=-1)所以所求的點點距的最小值，就轉化為切點(P_0(1,0))到直線(y=x)的點線距，
或者兩條直線(y=x,y=x-1)的線線距了。

部分分式模型+對號函數模型

均值不等式模型

高頻等價轉化

函數(y=f(x))有(n)個零點 (Longleftrightarrow) 方程(f(x)=0)有(n)個不同的根 (Longleftrightarrow) 兩個函數圖像(y=f(x)，y=0)有(n)個不同的交點，思想方法：數形結合。

解不等式模型

①用代數方法解 如(x^2-3|x|+2>0)

②用圖像解 如坐標系中給出函數(f(x))和(g(x))的圖像，求解(f(x)>g(x))等，

再如(f(x)=x(x+2)(e^{x-1}-1)>0)， 法1：圖像法， 法2：代數方法

③用導數解，如((x-1)f'(x)>0)，比較(f(0)+f(2)>2f(1))。

④構造函數解不等式 用"左-右"=(g(x)),利用導數知識求解。

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如引例1、(f(a)=(x-2)a+(x^2-4x+4)>0)在(ain［-1，1］)恒成立，求(a)的取值范圍。 ↩?

如引例2、 $ f(x)=ax^2+2ax+3>0 $ 對 (xin R)恒成立，求(a)的取值范圍。 ↩?

如引例3、$ f(x)=ax^2+2ax+3>0 $ 在 (xin［-1，1］)恒成立，求(a)的取值范圍。相關閱讀：二次函數恒成立習題；
【思路對比】
引例4、$f(x)=x^2 +ax-2ageqslant 0 $ 在區間 $ x in［a，b］$ 上恒成立的轉化思路
法1：二次函數法+分類討論法【針對對稱軸和給定區間的位置關系及判別式常常分3類情況討論】
法2：分離參數法
引例5、$ f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a>0 $ 在區間 (xin［a，b］) 上恒成立的轉化思路 (f(a)leq 0)且(f(b)leq 0) ↩?

思路提示：利用題目的條件，去掉兩邊的絕對值符號，變形為 (f(x_2)-f(x_1)leq a(x_1-x_2))，再變形為(f(x_2)+ax_2leq f(x_1)+ ax_1) ，接下來構造新函數(g(x)=f(x)+ax)，研究新函數的性質解題。 ↩?

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的常用数学模型整理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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