題面

試題 D: 序列求和
本題總分：10 分
【問題描述】
學習了約數后，小明對于約數很好奇，他發現，給定一個正整數 t，總是可以找到含有 t 個約數的整數。小明對于含有 t 個約數的最小數非常感興趣，并把它定義為$S_t$。
例如 $S_1=1$, $S_2=2$, $S_3=4$, $S_4=6$，· · · 。
現在小明想知道，前 60 個 $S_i$ 的和是多少？即 $S_1$ + $S_2$ + · · · + $S_{60}$ 是多少？
【答案提交】
這是一道結果填空的題，你只需要算出結果后提交即可。本題的結果為一個整數，在提交答案時只填寫這個整數，填寫多余的內容將無法得分。

思路

在網上找了半天都沒有這題的正確題解，決賽A組的填空題都沒人寫題解？好吧，然而我也不會，寫了個暴力，打表到50就不行了，看來答案至少到long long了。
請教了搞數學的隊友yz @yingyingying002（yz tql），告訴我直接dfs搜索，分解數求值。

舉個例子，求因子數為12的最小數。

$12=6?2；ans=2^5?3^1$
? $=3?2?2；ans=2^2?3^1?5^1$
? $=4?3；ans=2^3?3^2$
? $=2?2?3；ans=2^2?3^1?5^1$

12有以上4種分解方法，每個乘數-1就是要求的數分解后的質數的冪次（唯一分解定理），接下來考慮如何分配這些冪次給質數使得數最小？顯然貪心。我們看最后一種分解方法，12=2*2*3，將其降序排序，3,2,2，再減一為2,1,1，那么顯然$2^2?3^1?5^1$能夠讓數盡量小并且滿足因子數為12。

最后，我們dfs搜出所有的分解情況，然后其中最小的數。

另外，特判因子數為質數，比如因子數是13，減一是12，這個冪次全部分配給2，能得到的最小數是2¹²，滿足因子數是13。

代碼

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef unsigned long long ll; const ll N=1e5,inf=1e18; bool vis[N+10]; ll prime[N+10],tot=0,mi; void get_prime() // 素數篩 {memset(vis,1,sizeof(vis));vis[0]=vis[1]=0;for(int i=2;i<=N;i++){if(vis[i])prime[tot++]=i;for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=N;j++){vis[i*prime[j]]=0;if(i%prime[j]==0)break;}} } ll qpow(ll a,ll b) // 快速冪 {ll s=1;while(b){if(b&1)s=s*a;b/=2;a*=a;}return s; } ll dfs(ll x,vector<ll>g) // 將x分解成若干個數的乘積 {if(vis[x]||x==1)return qpow(2,x-1); // 特判質數和1for(ll i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){ll t=x/i; // 大的那個數 g.push_back(i);// 更新mi vector<ll>tmp=g;tmp.push_back(t); sort(tmp.begin(),tmp.end(),greater<ll>());ll s=1;for(int j=0;j<tmp.size();j++)s*=qpow(prime[j],tmp[j]-1); mi=min(mi,s);dfs(t,g);g.pop_back();}}return mi; } int main() {ios::sync_with_stdio(false);get_prime();ll ans=0;vector<ll>g;for(int i=1;i<=60;i++){mi=inf;g.clear();ll ts=dfs(i,g);ans+=ts;//printf("i=%d ts=%lld ans=%lld\n",i,ts,ans);}printf("%lld\n",ans);return 0; }

答案：292809912969717649

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2019年第十届蓝桥杯决赛(国赛) C++大学A组 D题 序列求和【全网找不到的题解？】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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