博弈論基礎知識: 巴什博奕+斐波那契博弈+威佐夫博奕+尼姆博弈(及Staircase)

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(一)巴什博奕(Bash Game):
只有一堆n個物品,兩個人輪流從這堆物品中取物,規定每次至少取一個,最多取m個.最后取光者得勝.
若(m+1) | n，則先手必敗，否則先手必勝。
顯然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m個,所以,無論先取者拿走多少個,后取者都能夠一次拿走剩余的物品,后者取勝.因此我們發
現了如何取勝的法則：如果n=(m+1)r+s,(r為任意自然數,s≤m),那么先取者要拿走s個物品,如果后取者拿走k(≤m)個,那么先取者再拿
走m+1-k個,結果剩下(m+1)(r-1)個,以后保持這樣的取法,那么先取者肯定獲勝.總之,要保持給對手留下(m+1)的倍數,就能最后獲勝.

(二)斐波那契博弈(Fibonacci Nim)

有一堆個數為n(n>=2)的石子，游戲雙方輪流取石子，規則如下：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1顆；

2)之后每次可以取的石子數至少為1，至多為對手剛取的石子數的2倍。

約定取走最后一個石子的人為贏家，求必敗態。

結論：當n為Fibonacci數的時候，必敗。

f[i]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……

用第二數學歸納法證明：

為了方便，我們將n記為f[i]。

1、當i=2時，先手只能取1顆，顯然必敗，結論成立。

2、假設當i<=k時，結論成立。

則當i=k+1時，f[i] = f[k]+f[k-1]。則我們可以把這一堆石子看成兩堆，簡稱k堆和k-1堆。（一定可以看成兩堆，因為假如先手第一次取的石子數大于或等于f[k-1]，則后手可以直接取完f[k]，因為f[k] < 2*f[k-1]）對于k-1堆，由假設可知，不論先手怎樣取，后手總能取到最后一顆。下面我們分析一下后手最后取的石子數x的情況。如果先手第一次取的石子數y>=f[k-1]/3，則這小堆所剩的石子數小于2y，即后手可以直接取完，此時x=f[k-1]-y，則x<=2/3*f[k-1]。我們來比較一下2/3*f[k-1]與1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]與3*f[k]的大小，對兩值作差后不難得出，后者大。所以我們得到，x<1/2*f[k]。即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戲規則沒有改變，則由假設可知，對于k堆，后手仍能取到最后一顆，所以后手必勝。即i=k+1時，結論依然成立。

那么，當n不是Fibonacci數的時候，情況又是怎樣的呢？

這里需要借助“Zeckendorf定理”（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示為若干個不連續的Fibonacci數之和。

關于這個定理的證明，感興趣的同學可以在網上搜索相關資料，這里不再詳述。

分解的時候，要取盡量大的Fibonacci數。

比如分解85：85在55和89之間，于是可以寫成85=55+30，然后繼續分解30,30在21和34之間，所以可以寫成30=21+9，

依此類推，最后分解成85=55+21+8+1。

則我們可以把n寫成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我們令先手先取完f[ap]，即最小的這一堆。由于各個f之間不連續，則a(p-1) > ap + 1，則有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]這一堆，且不能一次取完。

此時后手相當于面臨這個子游戲（只有f[a(p-1)]這一堆石子，且后手先取）的必敗態，即先手一定可以取到這一堆的最后一顆石子。

同理可知，對于以后的每一堆，先手都可以取到這一堆的最后一顆石子，從而獲得游戲的勝利。

(三)威佐夫博奕(Wythoff Game):
有兩堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品,規定每次至少取一個,多者不限,最后取光者得勝.
奇異局勢下先手必敗，非奇異局勢下先手必勝。
這種情況下是頗為復雜的.我們用(ak,bk)(ak ≤bk ,k=0,1,2,…,n)表示兩堆物品的數量并稱其為局勢,如果甲面對(0,0),那么甲已經
輸了,這種局勢我們稱為奇異局勢.前幾個奇異局勢是：(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20).
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而bk= ak + k,奇異局勢有如下三條性質：
1、任何自然數都包含在一個且僅有一個奇異局勢中.
由于ak是未在前面出現過的最小自然數,所以有ak > ak-1 ,而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性質1.成立.
2、任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢.
事實上,若只改變奇異局勢(ak,bk)的某一個分量,那么另一個分量不可能在其他奇異局勢中,所以必然是非奇異局勢.如果使(ak,bk)的兩
個分量同時減少,則由于其差不變,且不可能是其他奇異局勢的差,因此也是非奇異局勢.
3、采用適當的方法,可以將非奇異局勢變為奇異局勢.
假設面對的局勢是(a,b),若b = a,則同時從兩堆中取走a 個物體,就變為了奇異局勢(0,0)；如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk個物
體,即變為奇異局勢；如果a = ak , b < bk ,則同時從兩堆中拿走ak - ab - ak個物體,變為奇異局勢( ab - ak , ab - ak+ b - ak)
；如果a > ak ,b= ak + k,則從第一堆中拿走多余的數量a - ak 即可；如果a < ak ,b= ak + k,分兩種情況,第一種,a=aj (j < k),從
第二堆里面拿走b - bj 即可；第二種,a=bj (j < k),從第二堆里面拿走b - aj 即可.
從如上性質可知,兩個人如果都采用正確操作,那么面對非奇異局勢,先拿者必勝；反之,則后拿者取勝.
那么任給一個局勢(a,b),怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：
ak =k(1+√5)/2, bk= ak + k (k∈N)
奇妙的是其中出現了有關黃金分割數的式子：(1+√5)/2 =1.618…,若兩堆物品個數分別為x,y(x<y)，則k=y-x，再判斷x是否等于[(y
-x)( √5+1)/2] 即可得知是否是奇異局勢。
參考例題：POJ1067取石子游戲
參考代碼：
var a,b:longint;begin repeat readln(a,b); if a>b then begin a:=a xor b; b:=a xor b; a:=a xor b; end; if a=trunc((b-a)(sqrt(5)+1)/2) then writeln(0) else writeln(1); until seekeof;end.
(四)尼姆博奕(Nimm Game):
有三堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆取任意多的物品,規定每次至少取一個,多者不限,最后取光者得勝.
這種情況最有意思,它與二進制有密切關系,我們用(a,b,c)表示某種局勢,首先(0,0,0)顯然是奇異局勢,無論誰面對奇異局勢,都必然失
敗.第二種奇異局勢是(0,n,n),只要與對手拿走一樣多的物品,最后都將導致(0,0,0).仔細分析一下,(1,2,3)也是奇異局勢,無論對手如
何拿,接下來都可以變為(0,n,n)的情形.
計算機算法里面有一種叫做按位模2加,也叫做異或的運算,我們用符號xor表示這種運算.這種運算和一般加法不同的一點是1+1=0.先看
(1,2,3)的按位模2加的結果：
1 =二進制01
Xor 2 =二進制10
Xor 3 =二進制11
———————
0 =二進制00
對于奇異局勢(0,n,n)也一樣,結果也是0.
任何奇異局勢(a,b,c)都有a xor b xor c =0。該結論可以推廣至若干堆，都是成立的。
如果我們面對的是一個非奇異局勢(a,b,c),要如何變為奇異局勢呢？假設a < b< c,我們只要將c 變為a xor b,即可,因為有如下的運算
結果: a xor b xor (a xor b)=(a xor a) xor (b xor b)=0 xor 0=0.要將c 變為a xor b,只要從c中減去c-(a xor b)即可.
(五)Nim Staircase博奕:
這個問題是尼姆博弈的拓展：游戲開始時有許多硬幣任意分布在樓梯上，共n階樓梯從地面由下向上編號為0到n。游戲者在每次操作時
可以將樓梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少一個硬幣移動到樓梯j-1上。游戲者輪流操作，將最后一枚硬幣移至地上（0號）的人獲勝。
算法：將奇數樓層的狀態異或，和為0則先手必敗，否則先手必勝。證明略。
例題：Poj1704
這道題可以把兩個棋子中間間隔的空格子個數作為一堆石子，則原題轉化為每次可以把左邊的一堆石子移到相鄰的右邊的一堆中。也就
是階梯尼姆博弈，注意對輸入數據先排序，然后倒著往前數（a[n]-a[n-1]-1為第一個），奇數個數到的就做一下xor，其中最前面的看
做a[1]-0-1，參考程序：
var t,n,b,i,j:longint; a:array[0…1000]of longint;begin readln(t); repeat dec(t); readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); qsort(1,n);//快排略 j:=0; b:=0; for i:=n downto 1 do begin inc(j); if odd(j) then b:=b xor (a[i]-a[i-1]-1); end; if b=0 then writeln(‘Bob will win’) else writeln(‘Georgia will win’); until t=0;end.

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總結

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