【射影几何02】拓广平面
目錄
一、說明
二、拓廣平面
2.1 關于拓廣直線
2.2 關于拓廣平面
2.3 拓廣平面的實際意義
三、結論
一、說明
????????隨計算機圖像、圖形學的深入開展。關于幾何方面的理論越來越受到重視，其中包括：射影幾何、共形幾何、微分幾何等觀點。本篇將系列開展射影幾何的概念，以及實時的程序實驗。為讀者快速打開理論實踐結合的大門，保障理論水平的提高。
二、拓廣平面
2.1 關于拓廣直線
????????對于平面上的一條直線來說，如果將正反方向無窮遠，并認為無窮遠點只有一個，于是無窮遠的可以合并，就產生一個類似環狀的拓廣直線。
圖1 拓廣直線- 拓廣直線上一點不能把拓廣直線分成不連通的兩段;而拓廣直線上的兩普通點把它分成兩段,其中一段包含無窮遠點,另一段就是原來直線上的線段.?
????????拓廣直線的啟發來源于地球經線總是相交于兩級，因此，在陸地上作的平行經線，總是要相交于北極：
無窮遠直線。繼續看：
- ?L1平行于L2，在無窮遠點S1上相匯。?L3平行于L4，在無窮遠點S2上相匯。
- L1，L2相交于L3，L4，因而無窮遠處的S1和S2也不是同一個點，S1和S2構成無窮遠直線。
- 由于L1和L3相交，相交的線能構成平面，因此，無窮多的S1，S2，...S∞構成無窮遠封閉盤。包圍這個平面。
為了區分無窮和有限范圍，有必要引入一些概念：
| 歐氏點 | 有限空間內點 | |
| 無窮遠點 | 每條直線的無限遠處的抽象點 | |
| 射影點 | 歐氏點 +??無窮遠點 | |
| 歐氏直線 | 有限空間直線，不包含無窮遠點 | |
| 射影直線 | 歐氏直線+無窮遠點的總稱。、還有，無窮遠點的連線是 | |
| 歐氏平面 | 有限歐氏空間的平面。 | |
| 射影平面 | 歐氏平面+無限遠射影線構成。 |
2.2 關于拓廣平面
? ? ? ? 拓廣平面就是射影平面。
????????凡是兩個平行的拓展平面都在無窮遠處相交，相交于無窮遠封閉線。單個拓廣平面總時存在。
圖2? ? 拓廣平行平面?????????圖 2 設有平面Ps和Pr平行，則Ps和Pr在無限遠處相交，相交的集合是一個無限大半徑的園（按照極限論，無限大半徑的園，就是直線）。所以，圖中和代表無限遠圓上的一個點。故：
- 定理1.1.1 拓廣平面上任意兩點決定一條直線
是這樣的事實：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
這里提醒的是，“兩個無窮遠點連成直線” 不是圖1中圖中和連成直線，事實上，圖中和是一個點。“一組平行線在無窮遠處交于一個點”，這點務必注意。
上面說的“ 3）兩個無窮遠點連成直線” 指的情況如圖2所示。
?圖三? 拓廣平面上兩組平行線，分別相交于無限遠圓的兩點上（ c和d ）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
????????如圖三，K1、K2、K3 構成平行線，它們將交于Cu和Cv（兩點重合），而無窮遠點（Cu和Cv）和無窮遠點（du和dv）構成無窮遠直線。
- (ⅰ)拓廣平面上任意兩條拓廣直線如果作為普通直線平行,那么此兩拓廣直線上的無窮遠點相同,否則不同;
- (ⅱ)拓廣平面上所有的無窮遠點構成一條直線,它上面沒有普通點,這條直線稱為無窮遠直線.
2.3 拓廣平面的實際意義
????????將圖四中左邊的棋盤格放于地面，然后繪制成拓廣平面，如右側。顯然棋盤格上有兩組互相垂直的平行線族；分別交于天際線的R點和S點，R和S是無限遠的圓上，也就是說，RS這兩個無限遠點連成一條線。
圖四：棋盤在投影后圖形樣貌，右上圖沒考慮交比，右下圖考慮交比? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
????????右圖中上邊的目測起來似乎不是平面，而下邊的目測更像是個平面。這是交比不對造成的。后期我們將論述另一個重要概念：交比。
?圖五 按照射影幾何，棋盤格的標準畫法? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
三、結論
????????本篇我們引入重要的射影幾何概念，告訴大家在射影幾何中，空間域是如何定義的。注意這種定義是邏輯的，或抽象的，然而不是不合理的，學習者需要習慣。
總結
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