題目

(蒲豐投針問題)，平面上有一些平等線，它們之間的距離都是$D$,一根長度為$L$的針隨機的投擲在平面上，其中$D\ge L$,證明此針正好與一條直接相交的概率是$2L/\pi D$,解釋這個實驗為什么可以機械的估計$\pi$的值?

解題思路

由于向桌面投針是隨機的，所以用二維隨機變量（X,Y）來確定它在桌上的具體位置。設X表示針的中點到平行線的的距離，Y表示針與平行線的夾角，如果$X\le \frac{1}{2}sinY$ 時，針與直線相交。
并且X在$\left(0,\frac{D}{2}\right)$ 服從均勻分布，Y在$\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 服從均勻分布，XY相互獨立，由此可以寫出（X，Y）的概率密度函數

$$f(x,y)=\frac{4}{\pi D},0\le x\le \frac{D}{2},0\le y\le \frac{\pi }{2}否則為0$$

因此所求概率

$$P\{X<\frac{L}{2}sinY\}=?f(x,y)dxdy={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{\frac{L}{2}siny}\frac{4}{\pi a}dxdy=\frac{2L}{\pi D}$$

第二個問題
可以根據大量的實驗求出$p$，即針與平等線相交的概率，然后根據$p=\frac{2L}{\pi D}L和D已知$，則可以求出$\pi$

本題參考
https://baike.baidu.com/item/%E8%92%B2%E4%B8%B0%E6%8A%95%E9%92%88%E9%97%AE%E9%A2%98/10876943?fr=aladdin

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数理统计与数据分析第三版习题 第3章 第5题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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