理解mini-batch梯度下降法

使用batch梯度下降法時(shí)，每次迭代都需要?dú)v遍整個(gè)訓(xùn)練集，可以預(yù)期每次迭代成本都會(huì)下降，所以如果成本函數(shù)\(J\)是迭代次數(shù)的一個(gè)函數(shù)，它應(yīng)該會(huì)隨著每次迭代而減少，如果\(J\)在某次迭代中增加了，那肯定出了問題，也許的學(xué)習(xí)率太大。

使用mini-batch梯度下降法，如果作出成本函數(shù)在整個(gè)過程中的圖，則并不是每次迭代都是下降的，特別是在每次迭代中，要處理的是\(X^{\{t\}}\)和\(Y^{\{ t\}}\)，如果要作出成本函數(shù)\(J^{\{ t\}}\)的圖，而\(J^{\{t\}}\)只和\(X^{\{ t\}}\)，\(Y^{\{t\}}\)有關(guān)，也就是每次迭代下都在訓(xùn)練不同的樣本集或者說訓(xùn)練不同的mini-batch，如果要作出成本函數(shù)\(J\)的圖，很可能會(huì)看到這樣的結(jié)果，走向朝下，但有更多的噪聲，所以如果作出\(J^{\{t\}}\)的圖，因?yàn)樵谟?xùn)練mini-batch梯度下降法時(shí)，會(huì)經(jīng)過多代，可能會(huì)看到這樣的曲線。沒有每次迭代都下降是不要緊的，但走勢(shì)應(yīng)該向下，噪聲產(chǎn)生的原因在于也許\(X^{\{1\}}\)和\(Y^{\{1\}}\)是比較容易計(jì)算的mini-batch，因此成本會(huì)低一些。不過也許出于偶然，\(X^{\{2\}}\)和\(Y^{\{2\}}\)是比較難運(yùn)算的mini-batch，或許需要一些殘缺的樣本，這樣一來，成本會(huì)更高一些，所以才會(huì)出現(xiàn)這些擺動(dòng)，因?yàn)槭窃谶\(yùn)行mini-batch梯度下降法作出成本函數(shù)圖。

需要決定的變量之一是mini-batch的大小，\(m\)就是訓(xùn)練集的大小，極端情況下，如果mini-batch的大小等于\(m\)，其實(shí)就是batch梯度下降法，在這種極端情況下，就有了mini-batch \(X^{\{1\}}\)和\(Y^{\{1\}}\)，并且該mini-batch等于整個(gè)訓(xùn)練集，所以把mini-batch大小設(shè)為\(m\)可以得到batch梯度下降法。

另一個(gè)極端情況，假設(shè)mini-batch大小為1，就有了新的算法，叫做隨機(jī)梯度下降法，每個(gè)樣本都是獨(dú)立的mini-batch，當(dāng)看第一個(gè)mini-batch，也就是\(X^{\{1\}}\)和\(Y^{\{1\}}\)，如果mini-batch大小為1，它就是的第一個(gè)訓(xùn)練樣本，這就是的第一個(gè)訓(xùn)練樣本。接著再看第二個(gè)mini-batch，也就是第二個(gè)訓(xùn)練樣本，采取梯度下降步驟，然后是第三個(gè)訓(xùn)練樣本，以此類推，一次只處理一個(gè)。

看在兩種極端下成本函數(shù)的優(yōu)化情況，如果這是想要最小化的成本函數(shù)的輪廓，最小值在那里，batch梯度下降法從某處開始，相對(duì)噪聲低些，幅度也大一些，可以繼續(xù)找最小值。

相反，在隨機(jī)梯度下降法中，從某一點(diǎn)開始，重新選取一個(gè)起始點(diǎn)，每次迭代，只對(duì)一個(gè)樣本進(jìn)行梯度下降，大部分時(shí)候向著全局最小值靠近，有時(shí)候會(huì)遠(yuǎn)離最小值，因?yàn)槟莻€(gè)樣本恰好給指的方向不對(duì)，因此隨機(jī)梯度下降法是有很多噪聲的，平均來看，它最終會(huì)靠近最小值，不過有時(shí)候也會(huì)方向錯(cuò)誤，因?yàn)殡S機(jī)梯度下降法永遠(yuǎn)不會(huì)收斂，而是會(huì)一直在最小值附近波動(dòng)，但它并不會(huì)在達(dá)到最小值并停留在此。

實(shí)際上選擇的mini-batch大小在二者之間，大小在1和\(m\)之間，而1太小了，\(m\)太大了，原因在于如果使用batch梯度下降法，mini-batch的大小為\(m\)，每個(gè)迭代需要處理大量訓(xùn)練樣本，該算法的主要弊端在于特別是在訓(xùn)練樣本數(shù)量巨大的時(shí)候，單次迭代耗時(shí)太長(zhǎng)。如果訓(xùn)練樣本不大，batch梯度下降法運(yùn)行地很好。

相反，如果使用隨機(jī)梯度下降法，如果只要處理一個(gè)樣本，那這個(gè)方法很好，這樣做沒有問題，通過減小學(xué)習(xí)率，噪聲會(huì)被改善或有所減小，但隨機(jī)梯度下降法的一大缺點(diǎn)是，會(huì)失去所有向量化帶給的加速，因?yàn)橐淮涡灾惶幚砹艘粋€(gè)訓(xùn)練樣本，這樣效率過于低下，所以實(shí)踐中最好選擇不大不小的mini-batch尺寸，實(shí)際上學(xué)習(xí)率達(dá)到最快。會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)好處，一方面，得到了大量向量化，上個(gè)視頻中用過的例子中，如果mini-batch大小為1000個(gè)樣本，就可以對(duì)1000個(gè)樣本向量化，比一次性處理多個(gè)樣本快得多。另一方面，不需要等待整個(gè)訓(xùn)練集被處理完就可以開始進(jìn)行后續(xù)工作，再用一下上個(gè)視頻的數(shù)字，每次訓(xùn)練集允許采取5000個(gè)梯度下降步驟，所以實(shí)際上一些位于中間的mini-batch大小效果最好。

用mini-batch梯度下降法，從這里開始，一次迭代這樣做，兩次，三次，四次，它不會(huì)總朝向最小值靠近，但它比隨機(jī)梯度下降要更持續(xù)地靠近最小值的方向，它也不一定在很小的范圍內(nèi)收斂或者波動(dòng)，如果出現(xiàn)這個(gè)問題，可以慢慢減少學(xué)習(xí)率，在下個(gè)視頻會(huì)講到學(xué)習(xí)率衰減，也就是如何減小學(xué)習(xí)率。

如果mini-batch大小既不是1也不是\(m\)，應(yīng)該取中間值，那應(yīng)該怎么選擇呢？其實(shí)是有指導(dǎo)原則的。

首先，如果訓(xùn)練集較小，直接使用batch梯度下降法，樣本集較小就沒必要使用mini-batch梯度下降法，可以快速處理整個(gè)訓(xùn)練集，所以使用batch梯度下降法也很好，這里的少是說小于2000個(gè)樣本，這樣比較適合使用batch梯度下降法。不然，樣本數(shù)目較大的話，一般的mini-batch大小為64到512，考慮到電腦內(nèi)存設(shè)置和使用的方式，如果mini-batch大小是2的\(n\)次方，代碼會(huì)運(yùn)行地快一些，64就是2的6次方，以此類推，128是2的7次方，256是2的8次方，512是2的9次方。所以經(jīng)常把mini-batch大小設(shè)成2的次方。在上一個(gè)視頻里，的mini-batch大小設(shè)為了1000，建議可以試一下1024，也就是2的10次方。也有mini-batch的大小為1024，不過比較少見，64到512的mini-batch比較常見。

最后需要注意的是在的mini-batch中，要確保\(X^{\{ t\}}\)和\(Y^{\{t\}}\)要符合CPU/GPU內(nèi)存，取決于的應(yīng)用方向以及訓(xùn)練集的大小。如果處理的mini-batch和CPU/GPU內(nèi)存不相符，不管用什么方法處理數(shù)據(jù)，會(huì)注意到算法的表現(xiàn)急轉(zhuǎn)直下變得慘不忍睹，所以希望對(duì)一般人們使用的mini-batch大小有一個(gè)直觀了解。事實(shí)上mini-batch大小是另一個(gè)重要的變量，需要做一個(gè)快速嘗試，才能找到能夠最有效地減少成本函數(shù)的那個(gè)，一般會(huì)嘗試幾個(gè)不同的值，幾個(gè)不同的2次方，然后看能否找到一個(gè)讓梯度下降優(yōu)化算法最高效的大小。希望這些能夠指導(dǎo)如何開始找到這一數(shù)值。

學(xué)會(huì)了如何執(zhí)行mini-batch梯度下降，令算法運(yùn)行得更快，特別是在訓(xùn)練樣本數(shù)目較大的情況下。

總結(jié)

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