九連環遞歸算法及其拓展

1 九連環簡介

九連環是中國最杰出的益智游戲。長期以來，這個益智游戲是數學家及現代的電子計算機專家們用于教學研究的課題和例子。

九連環以金屬絲制成9個圓環，將圓環套裝在橫板或各式框架上，并貫以環柄。把玩時，按照一定的程序反復操作，可使9個圓環分別解開，或合二為一。從完整狀態解下所有九個環一般需要解341步。

2 九連環規則

在解九連環的過程中間，只有兩個規則可循。并且這兩個規則在游戲中交替使用：

規則一：第一環可以在任何時候放上或取下環柄。

規則二：只有緊跟在領頭環后的環可以放上或取下環柄。（領頭環是套在柄上的最前面的環）

如果所有的環都在柄上，那么第一步可以有兩個選擇。（根據規則一，取下第一環；或者根據規則二，取下第二環。）但是，走完第一步以后，我們只需要交替使用這兩個規則，就不會走回頭路。

當環數是奇數時，第一步必須是要將第一環取下（規則一）。要解是偶數的連環時，第一步則是要將第二環取下（規則二）。取下一個環就是要將這個環滑過柄尖并從柄中由上而下滑下。放上一個環就是要將這個環由下而上穿過柄中，再滑過柄尖放入柄上。

3 九連環遞歸描述

（1）第 1 環可以自由上下 （2）而上/下第 n(n>1) 環時，則必須滿足：（a）第 n-1 個環在架上（b）前 n-2 個環全部在架下

4 九連環拆解安裝過程

正確的拆解是先以第 9 環為目標，先拆下它，簡化為拆一個 8 連環。接著再也第 8 環為目標，拆下它，簡化為拆一個 7 連環。以此類推，直至全部拆解。

其實安裝和拆解是一個道理，因為他們均是使用上面說的規律來完成的。

正確是安裝也是先以第 9 環為目標，先裝上它，簡化為裝一個 8 連環。接著再也第 8 環為目標，裝上它，簡化為裝一個 7 連環。以此類推，直至全部安裝。

實踐中，我們會進一步發現一個簡單規律，當安裝上第 9 環后，問題可以被簡化為裝一個 7 連環，而當裝上第 7 環后，問題就被簡化為裝一個 5 連環了。

5 求解九連環及相關問題

5.1 拆解/安裝 n 連環

5.1.1 問題描述

輸入一個正整數 n ，輸出 n 連環的拆解和安裝步驟，以及相應步驟數。

5.1.2 編程思路

遞歸實現問題求解。

拆解 n 連環，首先在第 n-1 在軸上的前提下卸下第 n 環前需要將前 n-2 環全部卸下，然后才能卸下第 n 環，之后裝上前 n-2 環，此時已經簡化為拆解 n-1 連環問題，開始拆解 n-1 連環，步驟同 n 連環。

安裝 n 連環，首先在安裝第 n 環前需要先將第 n-1 環裝上以及卸下前 n-2 環，之后才能裝上第 n 環，此時可以直接簡化為安裝 n-2 連環問題，開始安裝 n-2 連環，步驟同 n 連環。

以此類推，實現遞歸。

5.1.3 編程實現

源碼位于ChineseRings.cpp文件

/***************************************** * 功能：拆解&安裝n連環 * 介紹：輸入數字n * 輸出n連環的解法和裝法以及相應步數 * * 僅支持環全部在軸上時解下和環全部在軸下時裝上 ******************************************/# include<iostream> using namespace std;class Ring { public:Ring(int n) :nRingNum(n) {}void UpRing(int n);void DownRing(int n);void startDownRing();void startUpRing();void totalCnt();void setUpZero(); private:int nRingNum;static int s_nCnt; };//記錄拆裝步驟數 int Ring::s_nCnt = 0; void Ring::UpRing(int n) {//Upring是DownRing的逆過程 if (n != 0){++s_nCnt;if (n > 1) UpRing(n - 1);if (n > 2) DownRing(n - 2);cout << "上第" << n << "環" << endl;if (n > 2) UpRing(n - 2);} }void Ring::DownRing(int n) {if (n != 0){++s_nCnt;if (n > 2) DownRing(n - 2);cout << "下第" << n << "環" << endl;if (n > 2) UpRing(n - 2);if (n > 1) DownRing(n - 1);} }void Ring::startDownRing() {// 拆解九連環cout << "拆解" << nRingNum << "連環操作!" << endl;DownRing(nRingNum);cout << "拆解完畢" << endl; }void Ring::startUpRing() {// 安裝九連環cout << "安裝" << nRingNum << "連環操作!" << endl;UpRing(nRingNum);cout << "安裝完畢" << endl; }void Ring::totalCnt() {cout << "共累計上、下環" << s_nCnt << "次!" << endl << endl; }void Ring::setUpZero() {Ring::s_nCnt = 0; }int main() {int n;cin >> n;Ring ring(n);// 拆解過程ring.startDownRing();ring.totalCnt();ring.setUpZero();//將步驟數清零，以便記錄安裝步驟// 安裝過程ring.startUpRing();ring.totalCnt();ring.setUpZero();return 0; }

5.1.4 程序演示

5.2 拆解/安裝任意狀態九連環

5.2.1 問題描述

九連環共有 9 位在軸上和在軸下可以分別用 1 和 0 表示，那么九連環可能的狀態共有 2^9=512 種。

輸入一個九連環的當前狀態（ 9 位 01 串表示），輸出此狀態下的九連環的最快解法和最快裝法，以及相應步數。

5.2.2 編程思路

編程思路與前面 5.1 類似，但并不完全相同。也是遞歸實現，但是要考慮其中狀態的問題，并不是像 5.1 中完整的 n 連環那樣容易。

首先簡化問題難度，如果是拆解九連環則從最后一個在軸上的環開始向前解，同理，安裝九連環從最后一個不在軸上的環開始向前裝，這樣會省去一些遞歸。

拆解第 n 環，首先檢查，如果當前環在軸上，則跳過，開始拆解前一個環，重復此步驟；接著如果第 n-1 環在下，需要上第 n-1 環，然后下 第 n-2 環，之后下第 n 環；第 n 環拆下后，需要將之前卸下的第 n-2 環裝上，再下第 n-1 環，重復回第一步；

安裝第 n 環，首先如果第 n-1 環在下，需要上第 n-1 環，然后下 第 n-2 環，之后上第 n 環； 第 n 環安裝后，需要將之前卸下的第 n-2 環裝上（如果在上則不需，因為可能第 n 環也在上跳過之前一步），再上第 n-2 環，重復回第一步；

重復遞歸實現。

5.2.3 編程實現

源碼位于allChineseRings.cpp文件

/***************************************** * 功能：拆解&安裝九連環 * 介紹：輸入九連環當前狀態（9位01串表示） * 輸出此時九連環的解法和裝法以及相應步數 * 0表示環在軸下 * 1表示環在軸上 * * 支持九連環全部狀態的解法和裝法 ******************************************/# include <iostream> # include <string>using namespace std;class Ring { public:Ring(string s);void UpRing(int n);void DownRing(int n);void startDownRing();void startUpRing();void totalCnt();void setUpZero(); private:int nDownRingNum;int nUpRingNum;static int s_nCnt;string stRing; };// 記錄拆裝步驟數 int Ring::s_nCnt = 0; Ring::Ring(string s) {// 用于簡化問題，拆解過程中后面的 0 可忽略不計；安裝過程中后面的 1 可忽略不計stRing = s;for (int i = 0;i < 9;i++){if (s[i] == '1')nDownRingNum = i + 1;if (s[i] == '0')nUpRingNum = i + 1;} }void Ring::UpRing(int n) {// 上環if (n > 0){if (n > 1 && stRing[n - 2] == '0') UpRing(n - 1);if (n > 2) DownRing(n - 2);if (stRing[n - 1] == '0'){stRing[n - 1] = '1';++s_nCnt;cout << "上第" << n << "環" << endl;}if (n > 1 && stRing[n - 2] == '0') UpRing(n - 1);if (n > 2) UpRing(n - 2);} }void Ring::DownRing(int n) {// 下環while (n >= 1 && stRing[n - 1] == '0')n--;if (n > 0){if (n > 1 && stRing[n - 2] == '0') UpRing(n - 1);//if (n > 2) DownRing(n - 2);stRing[n - 1] = '0';++s_nCnt;cout << "下第" << n << "環" << endl;if (n > 2) UpRing(n - 2);if (n > 1) DownRing(n - 1);} }void Ring::startDownRing() {cout << "拆解九連環:" << stRing << endl;DownRing(nDownRingNum);cout << "拆解完畢" << endl; }void Ring::startUpRing() {cout << "安裝九連環:" << stRing << endl;UpRing(nUpRingNum);cout << "安裝完畢" << endl; }void Ring::totalCnt() {cout << "共累計上、下環" << s_nCnt << "次!" << endl << endl; }void Ring::setUpZero() {Ring::s_nCnt = 0; }int main() {// 輸入的九連環狀態 01 串string s;cin >> s;// 拆解過程Ring dring(s);dring.startDownRing();dring.totalCnt();dring.setUpZero();// 安裝過程Ring uring(s);uring.startUpRing();uring.totalCnt();uring.setUpZero();return 0; }

5.2.4 程序演示

6 九連環問題拓展延伸——連環鎖與格雷碼

6.1 九連環與格雷碼的關系

智力玩具九連環的狀態 變化符合格雷碼的編碼規律，漢諾塔的解法也與格雷碼有關。

九連環中的每個環都有上下兩種狀態，如果把這兩種狀態用0/1來表示的話，這個狀態序列就會形成一種循環二進制編碼（格雷碼）的序列。所以解決九連環問題所需要的狀態變化數就是格雷碼111111111所對應的十進制數341。

6.2 問題描述

你現在要操作的是一個n連環，n為正整數，給出n連環的兩種狀態，計算出從第一種狀態變換到第二種狀態所需要的最少步數。

輸入：第一行是一個正整數m，表示有m組測試數據。
每組測試數據一共3行，第一行是一個正整數n (0 < n < 128)，后兩行每一行描述一種狀態，n個數（0或1），用空格隔開。

輸出：對于每一組測試數據輸出一行，一個非負整數，表示從第一種狀態變換到第二種狀態所需要的最少步數。

6.3 編程思路

將輸入的兩種狀態當初格雷碼轉換成二進制再轉成十進制，最后兩個十進制的差的絕對值就是結果。

6.4 轉換規則

二進制碼->格雷碼：從最右邊一位起，依次將每一位與左邊一位異或，作為對應格雷碼該位的值，最左邊一位不變；

格雷碼->二進制碼：從左邊第二位起，將每位與左邊的所有值異或，作為該位解碼后的值（最左邊一位依然不變）。

6.5 編程實現

此處只簡單實現了格雷碼與二進制碼的轉換。

int toGray(int x) {// 轉化為格雷碼 return x^(x>>1); } int toBinary(int x) {// 格雷碼轉化為二進制 int y = x; while(x>>=1){ y ^= x; } return y; }

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總結

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