九連環(huán)遞歸算法及其拓展

1 九連環(huán)簡介

九連環(huán)是中國最杰出的益智游戲。長期以來，這個益智游戲是數(shù)學家及現(xiàn)代的電子計算機專家們用于教學研究的課題和例子。

九連環(huán)以金屬絲制成9個圓環(huán)，將圓環(huán)套裝在橫板或各式框架上，并貫以環(huán)柄。把玩時，按照一定的程序反復操作，可使9個圓環(huán)分別解開，或合二為一。從完整狀態(tài)解下所有九個環(huán)一般需要解341步。

2 九連環(huán)規(guī)則

在解九連環(huán)的過程中間，只有兩個規(guī)則可循。并且這兩個規(guī)則在游戲中交替使用：

規(guī)則一：第一環(huán)可以在任何時候放上或取下環(huán)柄。

規(guī)則二：只有緊跟在領(lǐng)頭環(huán)后的環(huán)可以放上或取下環(huán)柄。（領(lǐng)頭環(huán)是套在柄上的最前面的環(huán)）

如果所有的環(huán)都在柄上，那么第一步可以有兩個選擇。（根據(jù)規(guī)則一，取下第一環(huán)；或者根據(jù)規(guī)則二，取下第二環(huán)。）但是，走完第一步以后，我們只需要交替使用這兩個規(guī)則，就不會走回頭路。

當環(huán)數(shù)是奇數(shù)時，第一步必須是要將第一環(huán)取下（規(guī)則一）。要解是偶數(shù)的連環(huán)時，第一步則是要將第二環(huán)取下（規(guī)則二）。取下一個環(huán)就是要將這個環(huán)滑過柄尖并從柄中由上而下滑下。放上一個環(huán)就是要將這個環(huán)由下而上穿過柄中，再滑過柄尖放入柄上。

3 九連環(huán)遞歸描述

（1）第 1 環(huán)可以自由上下 （2）而上/下第 n(n>1) 環(huán)時，則必須滿足：（a）第 n-1 個環(huán)在架上（b）前 n-2 個環(huán)全部在架下

4 九連環(huán)拆解安裝過程

正確的拆解是先以第 9 環(huán)為目標，先拆下它，簡化為拆一個 8 連環(huán)。接著再也第 8 環(huán)為目標，拆下它，簡化為拆一個 7 連環(huán)。以此類推，直至全部拆解。

其實安裝和拆解是一個道理，因為他們均是使用上面說的規(guī)律來完成的。

正確是安裝也是先以第 9 環(huán)為目標，先裝上它，簡化為裝一個 8 連環(huán)。接著再也第 8 環(huán)為目標，裝上它，簡化為裝一個 7 連環(huán)。以此類推，直至全部安裝。

實踐中，我們會進一步發(fā)現(xiàn)一個簡單規(guī)律，當安裝上第 9 環(huán)后，問題可以被簡化為裝一個 7 連環(huán)，而當裝上第 7 環(huán)后，問題就被簡化為裝一個 5 連環(huán)了。

5 求解九連環(huán)及相關(guān)問題

5.1 拆解/安裝 n 連環(huán)

5.1.1 問題描述

輸入一個正整數(shù) n ，輸出 n 連環(huán)的拆解和安裝步驟，以及相應(yīng)步驟數(shù)。

5.1.2 編程思路

遞歸實現(xiàn)問題求解。

拆解 n 連環(huán)，首先在第 n-1 在軸上的前提下卸下第 n 環(huán)前需要將前 n-2 環(huán)全部卸下，然后才能卸下第 n 環(huán)，之后裝上前 n-2 環(huán)，此時已經(jīng)簡化為拆解 n-1 連環(huán)問題，開始拆解 n-1 連環(huán)，步驟同 n 連環(huán)。

安裝 n 連環(huán)，首先在安裝第 n 環(huán)前需要先將第 n-1 環(huán)裝上以及卸下前 n-2 環(huán)，之后才能裝上第 n 環(huán)，此時可以直接簡化為安裝 n-2 連環(huán)問題，開始安裝 n-2 連環(huán)，步驟同 n 連環(huán)。

以此類推，實現(xiàn)遞歸。

5.1.3 編程實現(xiàn)

源碼位于ChineseRings.cpp文件

/***************************************** * 功能：拆解&安裝n連環(huán) * 介紹：輸入數(shù)字n * 輸出n連環(huán)的解法和裝法以及相應(yīng)步數(shù) * * 僅支持環(huán)全部在軸上時解下和環(huán)全部在軸下時裝上 ******************************************/# include<iostream> using namespace std;class Ring { public:Ring(int n) :nRingNum(n) {}void UpRing(int n);void DownRing(int n);void startDownRing();void startUpRing();void totalCnt();void setUpZero(); private:int nRingNum;static int s_nCnt; };//記錄拆裝步驟數(shù) int Ring::s_nCnt = 0; void Ring::UpRing(int n) {//Upring是DownRing的逆過程 if (n != 0){++s_nCnt;if (n > 1) UpRing(n - 1);if (n > 2) DownRing(n - 2);cout << "上第" << n << "環(huán)" << endl;if (n > 2) UpRing(n - 2);} }void Ring::DownRing(int n) {if (n != 0){++s_nCnt;if (n > 2) DownRing(n - 2);cout << "下第" << n << "環(huán)" << endl;if (n > 2) UpRing(n - 2);if (n > 1) DownRing(n - 1);} }void Ring::startDownRing() {// 拆解九連環(huán)cout << "拆解" << nRingNum << "連環(huán)操作!" << endl;DownRing(nRingNum);cout << "拆解完畢" << endl; }void Ring::startUpRing() {// 安裝九連環(huán)cout << "安裝" << nRingNum << "連環(huán)操作!" << endl;UpRing(nRingNum);cout << "安裝完畢" << endl; }void Ring::totalCnt() {cout << "共累計上、下環(huán)" << s_nCnt << "次!" << endl << endl; }void Ring::setUpZero() {Ring::s_nCnt = 0; }int main() {int n;cin >> n;Ring ring(n);// 拆解過程ring.startDownRing();ring.totalCnt();ring.setUpZero();//將步驟數(shù)清零，以便記錄安裝步驟// 安裝過程ring.startUpRing();ring.totalCnt();ring.setUpZero();return 0; }

5.1.4 程序演示

5.2 拆解/安裝任意狀態(tài)九連環(huán)

5.2.1 問題描述

九連環(huán)共有 9 位在軸上和在軸下可以分別用 1 和 0 表示，那么九連環(huán)可能的狀態(tài)共有 2^9=512 種。

輸入一個九連環(huán)的當前狀態(tài)（ 9 位 01 串表示），輸出此狀態(tài)下的九連環(huán)的最快解法和最快裝法，以及相應(yīng)步數(shù)。

5.2.2 編程思路

編程思路與前面 5.1 類似，但并不完全相同。也是遞歸實現(xiàn)，但是要考慮其中狀態(tài)的問題，并不是像 5.1 中完整的 n 連環(huán)那樣容易。

首先簡化問題難度，如果是拆解九連環(huán)則從最后一個在軸上的環(huán)開始向前解，同理，安裝九連環(huán)從最后一個不在軸上的環(huán)開始向前裝，這樣會省去一些遞歸。

拆解第 n 環(huán)，首先檢查，如果當前環(huán)在軸上，則跳過，開始拆解前一個環(huán)，重復此步驟；接著如果第 n-1 環(huán)在下，需要上第 n-1 環(huán)，然后下 第 n-2 環(huán)，之后下第 n 環(huán)；第 n 環(huán)拆下后，需要將之前卸下的第 n-2 環(huán)裝上，再下第 n-1 環(huán)，重復回第一步；

安裝第 n 環(huán)，首先如果第 n-1 環(huán)在下，需要上第 n-1 環(huán)，然后下 第 n-2 環(huán)，之后上第 n 環(huán)； 第 n 環(huán)安裝后，需要將之前卸下的第 n-2 環(huán)裝上（如果在上則不需，因為可能第 n 環(huán)也在上跳過之前一步），再上第 n-2 環(huán)，重復回第一步；

重復遞歸實現(xiàn)。

5.2.3 編程實現(xiàn)

源碼位于allChineseRings.cpp文件

/***************************************** * 功能：拆解&安裝九連環(huán) * 介紹：輸入九連環(huán)當前狀態(tài)（9位01串表示） * 輸出此時九連環(huán)的解法和裝法以及相應(yīng)步數(shù) * 0表示環(huán)在軸下 * 1表示環(huán)在軸上 * * 支持九連環(huán)全部狀態(tài)的解法和裝法 ******************************************/# include <iostream> # include <string>using namespace std;class Ring { public:Ring(string s);void UpRing(int n);void DownRing(int n);void startDownRing();void startUpRing();void totalCnt();void setUpZero(); private:int nDownRingNum;int nUpRingNum;static int s_nCnt;string stRing; };// 記錄拆裝步驟數(shù) int Ring::s_nCnt = 0; Ring::Ring(string s) {// 用于簡化問題，拆解過程中后面的 0 可忽略不計；安裝過程中后面的 1 可忽略不計stRing = s;for (int i = 0;i < 9;i++){if (s[i] == '1')nDownRingNum = i + 1;if (s[i] == '0')nUpRingNum = i + 1;} }void Ring::UpRing(int n) {// 上環(huán)if (n > 0){if (n > 1 && stRing[n - 2] == '0') UpRing(n - 1);if (n > 2) DownRing(n - 2);if (stRing[n - 1] == '0'){stRing[n - 1] = '1';++s_nCnt;cout << "上第" << n << "環(huán)" << endl;}if (n > 1 && stRing[n - 2] == '0') UpRing(n - 1);if (n > 2) UpRing(n - 2);} }void Ring::DownRing(int n) {// 下環(huán)while (n >= 1 && stRing[n - 1] == '0')n--;if (n > 0){if (n > 1 && stRing[n - 2] == '0') UpRing(n - 1);//if (n > 2) DownRing(n - 2);stRing[n - 1] = '0';++s_nCnt;cout << "下第" << n << "環(huán)" << endl;if (n > 2) UpRing(n - 2);if (n > 1) DownRing(n - 1);} }void Ring::startDownRing() {cout << "拆解九連環(huán):" << stRing << endl;DownRing(nDownRingNum);cout << "拆解完畢" << endl; }void Ring::startUpRing() {cout << "安裝九連環(huán):" << stRing << endl;UpRing(nUpRingNum);cout << "安裝完畢" << endl; }void Ring::totalCnt() {cout << "共累計上、下環(huán)" << s_nCnt << "次!" << endl << endl; }void Ring::setUpZero() {Ring::s_nCnt = 0; }int main() {// 輸入的九連環(huán)狀態(tài) 01 串string s;cin >> s;// 拆解過程Ring dring(s);dring.startDownRing();dring.totalCnt();dring.setUpZero();// 安裝過程Ring uring(s);uring.startUpRing();uring.totalCnt();uring.setUpZero();return 0; }

5.2.4 程序演示

6 九連環(huán)問題拓展延伸——連環(huán)鎖與格雷碼

6.1 九連環(huán)與格雷碼的關(guān)系

智力玩具九連環(huán)的狀態(tài) 變化符合格雷碼的編碼規(guī)律，漢諾塔的解法也與格雷碼有關(guān)。

九連環(huán)中的每個環(huán)都有上下兩種狀態(tài)，如果把這兩種狀態(tài)用0/1來表示的話，這個狀態(tài)序列就會形成一種循環(huán)二進制編碼（格雷碼）的序列。所以解決九連環(huán)問題所需要的狀態(tài)變化數(shù)就是格雷碼111111111所對應(yīng)的十進制數(shù)341。

6.2 問題描述

你現(xiàn)在要操作的是一個n連環(huán)，n為正整數(shù)，給出n連環(huán)的兩種狀態(tài)，計算出從第一種狀態(tài)變換到第二種狀態(tài)所需要的最少步數(shù)。

輸入：第一行是一個正整數(shù)m，表示有m組測試數(shù)據(jù)。
每組測試數(shù)據(jù)一共3行，第一行是一個正整數(shù)n (0 < n < 128)，后兩行每一行描述一種狀態(tài)，n個數(shù)（0或1），用空格隔開。

輸出：對于每一組測試數(shù)據(jù)輸出一行，一個非負整數(shù)，表示從第一種狀態(tài)變換到第二種狀態(tài)所需要的最少步數(shù)。

6.3 編程思路

將輸入的兩種狀態(tài)當初格雷碼轉(zhuǎn)換成二進制再轉(zhuǎn)成十進制，最后兩個十進制的差的絕對值就是結(jié)果。

6.4 轉(zhuǎn)換規(guī)則

二進制碼->格雷碼：從最右邊一位起，依次將每一位與左邊一位異或，作為對應(yīng)格雷碼該位的值，最左邊一位不變；

格雷碼->二進制碼：從左邊第二位起，將每位與左邊的所有值異或，作為該位解碼后的值（最左邊一位依然不變）。

6.5 編程實現(xiàn)

此處只簡單實現(xiàn)了格雷碼與二進制碼的轉(zhuǎn)換。

int toGray(int x) {// 轉(zhuǎn)化為格雷碼 return x^(x>>1); } int toBinary(int x) {// 格雷碼轉(zhuǎn)化為二進制 int y = x; while(x>>=1){ y ^= x; } return y; }

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總結(jié)

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