關(guān)于貝特朗奇論的一點(diǎn)思考

貝特朗奇論這個(gè)名字就很奇怪，我最開(kāi)始以為是貝特朗奇的某個(gè)論點(diǎn)或者命題，但是百度了一下發(fā)現(xiàn)原來(lái)是貝特朗(Bertrand)的“奇論”，最初用以批判當(dāng)時(shí)尚不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母怕收?#xff0c;并將概率論引向公理化。

貝特朗奇論是指：在單位圓內(nèi)隨機(jī)地取一條弦，其長(zhǎng)超過(guò)該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)√3的概率等于多少？有如下三個(gè)解法：

1.將弦的一段固定在等邊三角形的某一個(gè)頂點(diǎn)上，然后另一端繞著圓周旋轉(zhuǎn)。可以在圖一中發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)另一端點(diǎn)位于上方的圓弧時(shí)，這條弦的長(zhǎng)度才會(huì)超過(guò)三角形的邊長(zhǎng)，由此可得所求概率為1/3。

2.根據(jù)幾何學(xué)原理，圓內(nèi)弦的長(zhǎng)度與弦到圓心的距離有關(guān)。從圖二可以看出，當(dāng)弦心距小于1/2時(shí)，這條弦的長(zhǎng)度大于三角形邊長(zhǎng)，所以這樣求出的概率為1/2。

3.再來(lái)考慮一條弦的中點(diǎn)，根據(jù)圖三可以得出：只有當(dāng)弦的中點(diǎn)位于半徑為1/2的小圓內(nèi)部時(shí)這條弦的長(zhǎng)度才滿足要求，同時(shí)因?yàn)檫@個(gè)小圓的面積是大圓的1/4，所以所求概率也是1/4。

(不放圖了)

這個(gè)問(wèn)題其實(shí)本來(lái)也沒(méi)有很特別，不是很難于理解。同一個(gè)問(wèn)題有三個(gè)不同的解是因?yàn)檎Z(yǔ)詞有一定的模糊性，模糊的界定得到模糊的概率。“作弦”這個(gè)詞本身是一個(gè)結(jié)果性的動(dòng)作，而沒(méi)有涉及過(guò)程。不同的過(guò)程去達(dá)到這個(gè)結(jié)果成功的可能性自然有所差別，而如果能明確規(guī)定過(guò)程，那么概率也就能明確確定。比如我達(dá)到某目標(biāo)可以有三種方法，成功概率分別為20%,40%,80%，但是如果問(wèn)“我做成這件事的概率是多少？”是不明確也沒(méi)有意義的，只有明確用哪種方法的概率才是明確的。

但這個(gè)問(wèn)題還是引發(fā)了一點(diǎn)點(diǎn)的思考。下面一些想法可能在以后會(huì)學(xué)到，百度上似乎也有一些文章寫相關(guān)的問(wèn)題。

首先是如何確定參數(shù)。取什么參數(shù)為隨機(jī)實(shí)際上決定了試驗(yàn)方法。方法一以與圓周上另一端點(diǎn)的相對(duì)位置為隨機(jī)變量(等價(jià)于弦切角為隨機(jī)變量，后面會(huì)寫為什么)，方法二以弦心距為唯一的隨機(jī)變量，方法三以弦中點(diǎn)的位置為隨機(jī)變量，實(shí)際上涉及x,y兩個(gè)變量。一個(gè)變量分布在一維的線上，兩個(gè)變量要用幾何概型表示。方法三涉及兩個(gè)變量因此用了幾何概型的面積比來(lái)計(jì)算，布豐投針的實(shí)驗(yàn)中針的分布也涉及兩個(gè)變量，也動(dòng)用了幾何概型和微積分表示面積再做除法來(lái)計(jì)算。

均勻分布問(wèn)題。我覺(jué)得這是一個(gè)很核心的問(wèn)題。選取不同的變量，在變量均勻變化的同時(shí)，因變量的變化規(guī)律并不一定相同。

先舉一個(gè)例子，假設(shè)一條直線l與線外一點(diǎn)A，過(guò)A做l的垂線，垂足H，我們觀察該點(diǎn)與線上一點(diǎn)點(diǎn)B連線的長(zhǎng)度變化的規(guī)律。現(xiàn)在同樣面臨如何取參數(shù)的問(wèn)題。第一種方法是取BH均勻變化，這樣可以由勾股定理得到AB長(zhǎng)度；第二種方法是去角BAH均勻變化，這時(shí)AB長(zhǎng)度為AH除以角BAH的余弦。顯然，兩種方法取變量并讓變量均勻變化時(shí)因變量變化是不一樣的。現(xiàn)在類似的構(gòu)造和貝特朗奇論類似的問(wèn)題，我們?nèi)绻僖?jì)算AB>2AH，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這和貝特朗奇論實(shí)際上完全是一個(gè)問(wèn)題。

但再延伸一點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)如果A在l上，l不是一條直線而是一個(gè)半圓弧時(shí)，角的均勻變化等效于點(diǎn)在圓弧上的均勻變化，這也是為什么說(shuō)方法一圓周上另一端點(diǎn)的相對(duì)位置為隨機(jī)變量等價(jià)于弦切角為隨機(jī)變量。

在百度上看到一些文章寫某某方法不正確，其實(shí)主要是認(rèn)為該方法沒(méi)有保證按某個(gè)要求均勻分布，但我又沒(méi)有理由保證必須要用哪個(gè)變量均勻分布。我覺(jué)得沒(méi)有足夠的理由反駁哪種方法是錯(cuò)誤的。

最后一個(gè)問(wèn)題是，我們能不能通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定這個(gè)概率是多少。這也是一個(gè)矛盾的問(wèn)題。試圖用實(shí)驗(yàn)來(lái)確定這個(gè)“概率”就等于是事先承認(rèn)有一個(gè)理念化的絕對(duì)的概率存在，它不以人為轉(zhuǎn)移。然而在實(shí)際處理的時(shí)候，我們又不得不選用一定的方法。如果我們?cè)噲D用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，我們r(jià)andom的實(shí)際上是狀態(tài)參數(shù)，但以哪個(gè)參數(shù)為隨機(jī)變量就涉及了方法的問(wèn)題。另外還可以設(shè)想在地上畫一個(gè)圓，然后隨機(jī)地往地上扔一些直線來(lái)與圓相交成弦。我覺(jué)得這樣看似合理，但實(shí)際上只是理想試驗(yàn)，人不可能“隨機(jī)地”扔一些直線(但這個(gè)問(wèn)題還是困擾著我)。

By MiltonDeng

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的贝特朗奇论 用计算机,关于贝特朗奇论的一点思考的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。