【問題1】設

,且對任意的都存在使得在處的階導數為零,證明是多項式.

【證明】設

是由這樣的構成:存在的鄰域使得在鄰域內和某個多項式相等.也就是說存在使得在鄰域內成立.設,只需要證明.

首先,我們證明

無孤立點.設是內的孤立點,則存在區間和使得在其上為多項式,多項式的系數由在處的Taylor展開決定,則上都和這樣的一個多項式相等,故,矛盾.

其次,設

,則知為閉集,且.存在使得包含一個以為中心的足夠小的區間,那么存在足夠小的閉區間使得,且在內,則,且由于是完全集,則和更高階的導數在內為零.那么完全集,否則其內所有內點都屬于.那也就是說存在中的一個小區間在內,那么在上是個多項式,且多項式由Taylor展開給出,則必然包括端點,也就是說.那么在上恒等于0,則在上恒等于0.故在上恒等于0,則,則.

【問題2】設

,且,且,其中.定義函數

證明:

,且

【證明】可以寫成

,而 在內為零,若令,則,其中,則不難得到.

由換元法不難得到

則

最后一步不難用定義得到,故

.

【問題3】設

在上連續的實值函數,對任意的,設為以為中心且與的各邊平行的完全含在內的正方形中最大的一個.而且對任意的有 證明:在上.

【證明】首先證明一個引理:對于一個有左上兩個固定邊的無限正方形等分方格表,對其方格類似矩陣標號為

,定義一個函數使得其定義域為或其拼成的正方形,設可以拼成正方形,則設這個正方形為,而還滿足可加性,也就是說在拼成正方形的值等于各個方格的值的和.若滿足在其定義域內的正方形若存在邊與固定邊界重合,則值為,則在每個方格的值都是.

引理的證明:考查第

行和第列相交的方格,對用歸納法,歸納奠基是不難驗證正確的,假設對的所有成立,考慮的情況. 知 且,且. 由歸納假設知,由可加性得,其余的方格類似不難得到,從而第行和第列相交的方格在作用下全為0,則引理成立.

原題的證明:注意到引理對

的證明沒有涉及到的任何方格,故對任意的,引理的結論截取前個方格依然成立.不難得知題設積分滿足的條件.假設存在點使得,不妨設,則由連續性,存在使得對劃分成個方格,邊長為,且對于某個覆蓋了的方格有在方格上的取值都大于零,則,這與引理矛盾,故命題成立.

【問題4】設

是映射,且存在使得有

證明:

,且為微分同胚.

【證明】引理:設

為可微映射,對于若有,則對任意的,存在使得.

引理的證明:定義

,則由和內用Lagrange中值定理即可得到結論.

原題的證明:引理中取

,知存在使得

由條件和Cauchy不等式知

故

.除此之外,可知

由局部逆射定理知

是的,故為微分同胚.

【問題5】設

,且及其各偏導數在處取.若是嚴格正定的,對于鄰域,當充分小時,證明下面極限存在,并求值.

【證明】首先,由于

是嚴格正定矩陣,則為極小值,也就是說若充分小時,對任意的都有,且對任意的,滿足都有,則不難證明

由Taylor公式知

其中

為處的Hessian矩陣.由條件知,則

那么對任意的

,存在使得當這個球形鄰域時,有

則

而不難平移鄰域為

那么存在正交矩陣

使得二次型經過代換變為,其中為的特征值.由是球形鄰域和正交變換的性質知

由于

,則

同理得到

將

得到

從而得到結論.

總結

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