動態規劃與分治法的異同：

相同點：其基本思想都是將待求解問題分解為若干子問題，先求解子問題，再結合這些子問題的解得到原問題的解。

差異點：與分治法不同的是，適合用動態規劃法求解的問題經分解得到的子問題往往不是相互獨立的。有些問題分解后的子問題往往是重復的，此時若用分支法則會重復計算耗費時間內存。

總結：為了達到避免重復計算，可以用一個表來記錄所有已解決的子問題的答案。不管該子問題以后是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。

步驟：

找出最優解的性質，刻畫其結構特征。

遞歸地定義最優值。

以自底向上的方式計算最優值。

根據計算最優值得到的信息構造最優解。

矩陣連乘問題

分析最優解的結構

建立遞歸關系

計算最優值

構造最優解

動態規劃算法的基本要素

最優子結構：當問題的最優解包含了其子問 題的最優解時，稱該問題具有最優子結構性質。

重疊子問題：在用遞歸算法自頂向下解此問題時，每次產生的子問題并不總是新問題，有些子問題被反復計算。動態規劃算法對每個子問題只解一次，然后將解保存在一個表格中。

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問題描述：

給定n個矩陣：A1,A2,…,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。輸入數據為矩陣個數和每個矩陣規模，輸出結果為計算矩陣連乘積的計算次序和最少數乘次數。

問題解析：

由于矩陣乘法滿足結合律，故計算矩陣的連乘積可以有許多不同的計算次序。這種計算次序可以用加括號的方式來確定。若一個矩陣連乘積的計算次序完全確定，也就是說該連乘積已完全加括號，則可以依此次序反復調用2個矩陣相乘的標準算法計算出矩陣連乘積。

例如，矩陣連乘積A1A2A3A4有5種不同的完全加括號的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一種完全加括號的方式對應于一個矩陣連乘積的計算次序，這決定著作乘積所需要的計算量。

有點需要記住，兩個矩陣相乘之后得到的矩陣的行為前面一個矩陣的行，列為后面一個矩陣的列，復雜度與第一個矩陣的列也有關。

遞推規律：

設計算A[i:j]（矩陣A從i乘到j），1≤i≤j≤n，所需要的最少數乘次數m[i,j]，則原問題的最優值為m[1,n]（上面例題就是m[1][6]）。

??當i=j時，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
??當i<j時，若A[i:j]的最優次序在Ak和Ak+1之間斷開，i<=k<j,則：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在計算是并不知道斷開點k的位置，所以k還未定。不過k的位置只有j-i個可能。因此，k是這j-i個位置使計算量達到最小的那個位置。

??綜上，有遞推關系如下：

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代碼如下：

#include<iostream> using namespace std;#define N 7 //N為7，實際表示有6個矩陣 /* *矩陣鏈構造函數：構造m[][]和s[][] *m中存儲的值是計算出來的最小乘法次數，比如m[1][5]就是A1A2A3A4A5的最小乘法次數 *s中存儲的是獲取最小乘法次數時的斷鏈點，s[1][5]對應的就是如何拆分A1A2A3A4A5, *比如S[1][5]=3可表示：(A1A2A3)(A4A5)，當然內部斷鏈還會繼續劃分A1A2A3 */ int MatrixChain(int *p, int n, int m[][N], int s[][N]){for(int i=1;i<=n;i++){ //矩陣鏈中只有一個矩陣時，次數為0，注意m[0][X]時未使用的m[i][i]=0;}for(int r=2;r <= n;r++){ //矩陣鏈長度,從長度為2開始for(int i=1;i <= n-r+1;i++){ //根據鏈長度，控制鏈最大的可起始點int j = i+(r-1); //矩陣鏈的末尾矩陣，注意r-1，因為矩陣鏈為2時，實際是往右+1m[i][j] = m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]; //先設置最好的劃分方法就是直接右邊開刀，后續改正，也可合并到下面的for循環中s[i][j]=i;for(int k=i+1;k < j;k++){ //這里面將斷鏈點從i+1開始，可以斷鏈的點直到j-1為止int t = m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];if(t<m[i][j]){m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}} } /* *追蹤函數：根據輸入的i,j限定需要獲取的矩陣鏈的始末位置，s存儲斷鏈點 */ void Traceback(int i,int j, int s[][N]){if(i==j) //回歸條件{cout<<"A"<<i;}else //按照最佳斷點一分為二，接著繼續遞歸{cout<<"(";Traceback(i,s[i][j],s);Traceback(s[i][j]+1,j,s);cout<<")";} } int main(){int p[N]={30,35,15,5,10,20,25};int m[N][N],s[N][N];MatrixChain(p,N-1,m,s);//N-1因為只有六個矩陣Traceback(1,6,s);return 0; }

運行結果：

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備忘錄方法：

代碼如下：

#include<iostream> using namespace std;#define N 7 //N為7，實際表示有6個矩陣 int p[N]={30,35,15,5,10,20,25}; int m[N][N],s[N][N]; int LookupChain(int i, int j){if(m[i][j]>0)return m[i][j];if(i == j)return 0;m[i][j] = LookupChain(i,i) + LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];s[i][j] = i;for(int k=i+1; k<j;k++){int t = LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];if(t<m[i][j]){m[i][j]=t;s[i][j]=k;}}return m[i][j]; }int MemorizedMatrixChain(int n, int m[][N], int s[][N]){for(int i=1;i<=n;i++){ //初始化默認都是0for(int j=1;j<=n;j++)m[i][j] = 0;}return LookupChain(1,n); } /* *追蹤函數：根據輸入的i,j限定需要獲取的矩陣鏈的始末位置，s存儲斷鏈點 */ void Traceback(int i,int j, int s[][N]){if(i==j) //回歸條件{cout<<"A"<<i;}else //按照最佳斷點一分為二，接著繼續遞歸{cout<<"(";Traceback(i,s[i][j],s);Traceback(s[i][j]+1,j,s);cout<<")";} } int main(){MemorizedMatrixChain(N-1,m,s);//N-1因為只有六個矩陣Traceback(1,6,s);return 0; }

運行結果：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【史上最详细】动态规划：矩阵连乘问题（C++实现，含备忘录方法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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