今天我們來看一道賊棒的題目，題目不長，很經典，也很容易理解，我們一起來看一哈吧，

大家也可能做過這道題，那就再復習一下，如果沒做過的話，可以看完文章，自己去 AC 一下，不過寫代碼的時候，要自己完全寫出來，這樣才能有收獲，下面我們看題目吧。

leetcode 233. 數字 1 的個數

題目描述

給定一個整數 n，計算所有小于等于 n 的非負整數中數字 1 出現的個數。

示例 1：

輸入：n = 13
輸出：6

示例 2：

輸入：n = 0
輸出：0

太喜歡這種簡潔的題目啦，言簡意賅，就是讓咱們找出小于等于 n 的非負整數中數字 1 出現的個數。

大家看到這個題目的第一印象，可能會這樣想，哦，讓我們求 1 的個數。

吶我們直接逐位遍歷每個數的每一位，當遇到 1 的時候，計數器 +1，不就行了。

嗯，很棒的方法，可惜會超時。（我試了）

或者說，我們可以先將所有數字拼接起來，然后再逐位遍歷，這樣仍會超時。（我也試了）

大家再思考一下還有沒有別的方法呢？

既然題目讓我們統計小于等于 n 的非負整數中數字 1 出現的個數。

那我們可以不可這樣統計。

我們假設 n = abcd，某個四位數。

那我們完全可以統計每一位上 1 出現的次數，個數上 1 出現的次數，十位上 1 出現的次數，百位 ，千位。。。

也就是說小于等于 n 的所有數字中，個位上出現 1 的次數 + 十位出現 1 的次數 + 。。。最后得到的就是總的出現次數。

見下圖

我們假設 n = 13 (用個小點的數，比較容易舉例)

我們需要統計小于等于 13 的數中，出現 1 的次數，

通過上圖可知，個位上 1 出現 2 次，十位上 1 出現 4 次

那么總次數為 2 + 4 = 6 次。

另外我們發現 11 這個數，會被統計 2 次，它的十位和個位都為 1 ，
?
而我們這個題目是要統計 1 出現的次數，而不是統計包含 1 的整數，所以上訴方法不會出現重復統計的情況。

我們題目已經有大概思路啦，下面的難點就是如何統計每一位中 1 出現的次數呢？

我們完全可以通過遍歷 n 的每一位來得到總個數，見下圖

假設我們想要得到十位上 1 出現的次數，當前我們指針指向十位，

我們稱之為當前位。num 則代表當前位的位因子，當前位為個位時 num = 1，十位時為 10，百位時為 100…

那我們將當前位左邊的定義為高位，當前位右邊的定義位低位。

例：n = 1004 ，此時指針指向十位（當前位）num = 10，高位為百位，千位，低位為個位

而且我們某一位的取值范圍為 0 ~ 9,那么我們可以將這 10 個數分為 3 類，小于 1 （當前位數字為 0 ），等于 1（當前位數字為 1 ） ，大于 1（當前位上數字為 2 ~ 9），下面我們就來分別考慮三種情況。

我們進行舉例的 n 為 1004，1014，1024。重點討論十位上 3 種不同情況。大家閱讀下方文字之前，先想象自己腦子里有一個行李箱的滾輪密碼鎖，我們固定其中的某一位，然后可以隨意滑動其他位，這樣可以幫助大家理解。
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注：該比喻來自與網友 ryan0414，看到的時候，不禁驚呼可太貼切了！

n = 1004
我們想要計算出小于等于 1004 的非負整數中，十位上出現 1 的次數。

也就是當前位為十位，數字為 0 時，十位上出現 1 的次數。

解析：為什么我們可以直接通過高位數字 * num，得到 1 出現的次數
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因為我們高位為 10，可變范圍為 0 ~ 10，但是我們的十位為 0 ，所以高位為 10 的情況取不到，所以共有 10 種情況。
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又當前位為十位，低位共有 1 位，可選范圍為 0 ~ 9 共有 10 種情況，所以直接可以通過 10 * 10 得到。

其實不難理解，我們可以設想成行李箱的密碼盤，在一定范圍內，也就是上面的 0010 ~ 0919 ， 固定住一位為 1 ，只能移動其他位，看共有多少種組合。

好啦，這個情況我們已經搞明白啦，下面我們看另一種情況。

n = 1014
我們想要計算出小于等于 1014 的非負整數中，十位上出現 1 的次數。

也就是當前位為十位，數字為 1 時，十位上出現 1 的次數。

我們在小于 1014 的非負整數中，十位上為 1 的最小數字為 10，最大數字為 1014，所以我們需要在 10 ~ 1014 這個范圍內固定住十位上的 1 ，移動其他位。

其實然后我們可以將 1014 看成是 1004 + 10 = 1014

則可以將 10 ~ 1014 拆分為兩部分 0010 ~ 0919 （小于 1004 ），1010 ~ 1014。

見下圖

解析：為什么我們可以直接通過 高位數字 * num + 低位數字 + 1 即 10 * 10 + 4 + 1
?
得到 1 出現的次數
?
高位數字 * num 是得到第一段的次數，第二段為 低位數字 + 1，求第二段時我們高位數字和當前位已經固定，
?
我們可以改變的只有低位。

可以繼續想到密碼盤，求第二段時，把前 3 位固定，只能改變最后一位。最后一位最大能到 4 ，那么共有幾種情況？

n = 1024
我們想要計算出小于等于 1024 的非負整數中，十位上出現 1 的次數。

也就是當前位為十位，數字為 2 ~ 9 時，十位上出現 1 的次數。其中最小的為 0010，最大的為 1019

我們也可以將其拆成兩段 0010 ~ 0919，1010 ~ 1019

解析：為什么我們可以直接通過高位數字 * num + num， 10 * 10 + 10 得到 1 出現的次數
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第一段和之前所說一樣，第二段的次數，我們此時已經固定了高位和當前位，當前位為 1，低位可以隨意取值，上訴例子中，當前位為 10，低位為位數為 1，則可以取值 0 ~ 9 的任何數，則共有 10 (num) 種可能。

好啦，下面我們看一下題目代碼吧

注：下方代碼沒有簡寫，也都標有注釋

class Solution {public int countDigitOne(int n) {// 高位int high = n;// 低位int low = 0;// 當前位int cur = 0;int count = 0;int num = 1;while(high != 0 || cur != 0) {cur = high % 10;high /= 10;// 這里我們可以提出high * num因為我們發現無論為幾，都含有它if(cur == 0) count += high * num;else if(cur == 1) count += high * num + 1 + low;else count += (high + 1) * num;// 低位low = cur * num + low;num *= 10;}return count;} }

時間復雜度 : O(logn) 空間復雜度 O(1)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的剑指 Offer 43. 1～n 整数中 1 出现的次数（可能是最简洁易懂的）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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