使用BBP公式可以直接求得十六進(jìn)制π的第n位而不需要計(jì)算前n位的數(shù)(講道理，我認(rèn)為是可以計(jì)算十進(jìn)制的第n位的，畢竟其本身就能直接計(jì)算出十進(jìn)制的π，但我沒試)，其優(yōu)點(diǎn)在于可以進(jìn)行分布式計(jì)算，即將一個(gè)耗時(shí)的運(yùn)算拆分成若干個(gè)運(yùn)算單元在不同的機(jī)器上進(jìn)行并行運(yùn)算，提高運(yùn)算效率。同時(shí)也可以用來(lái)測(cè)試計(jì)算機(jī)的性能。以下公式將直接求出十進(jìn)制的π：

其中參數(shù)k代表的是所求π的精度，例如：當(dāng)您希望求出π的前13位的話您只需要將k替換成13即可。其計(jì)算出來(lái)的結(jié)果為3.141592653589793238154767...，得出來(lái)也是一個(gè)無(wú)理數(shù)，但只有前13位代表Π。

接下來(lái)是如何求得十六進(jìn)制π的第n位。
首先，您需要知道一個(gè)知識(shí)點(diǎn)：十進(jìn)制的小數(shù)如何轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制？
例如，小數(shù)3.1415926轉(zhuǎn)換為16進(jìn)制為3.243f69a25b094，為了獲取第一個(gè)16進(jìn)制的小數(shù)，我們只需要取3.1415926的小數(shù)部分0.1415925乘以16即可得到2.2654816，結(jié)果的整數(shù)位數(shù)即為16十六進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換后端結(jié)果，再取2.2654816的小數(shù)部分0.2654816乘以16即可得到第二個(gè)16進(jìn)制小數(shù)位，依次類推，當(dāng)整數(shù)部分位10、11、12等大于9的數(shù)時(shí)，使用a、b、c等代替即可。

所以，如果需要得到16進(jìn)制π的第n個(gè)數(shù)，只需要求得16^n*π即可：

其中

計(jì)算時(shí)，將式子中的j替換為1、4、5、6然后分別代入上式即可。
式子中的k表示精度，d表示需要計(jì)算π的哪一位置

繼續(xù)得到

這里有兩點(diǎn)值得注意：

式子中的mod符號(hào)意為求模，即取16^(d-k)除以(8k+j)得余數(shù)，然后再除以(8k+j)，這樣做的目的是：在計(jì)算過(guò)程中就去除整數(shù)部分（因?yàn)槲覀冎恍枰氖切?shù)部分，整數(shù)部分可以直接去除，這在當(dāng)數(shù)據(jù)變得非常大時(shí)可以極大提高計(jì)算效率）。

將求和部分拆分為兩部分[0,d,正無(wú)窮]原因和第一點(diǎn)一樣，這樣的話后面的式子就一定是個(gè)小數(shù)。所以，真正在計(jì)算過(guò)程中一定要保證k>d。
然后將計(jì)算結(jié)果代入第一個(gè)式子中即可

最后，還需要注意的點(diǎn)是：代入之后求得的結(jié)果需要先去除整數(shù)部分然后再乘以16即可得到16進(jìn)制π的第n位。并且，為了保證第一個(gè)式子中求出來(lái)的值不為負(fù)值，您可能需要在做第一個(gè)減法之前加上一個(gè)大于4的整數(shù)。

下面貼出java代碼：
您需要首先在類中添加常量

private static final BigDecimal ONE = BigDecimal.ONE;private static final BigDecimal TWO = new BigDecimal(2);private static final BigDecimal FOUR = new BigDecimal(4);private static final BigDecimal FIVE = new BigDecimal(5);private static final BigDecimal SIX = new BigDecimal(6);private static final BigDecimal EIGHT = new BigDecimal(8);private static final BigDecimal SIXTEEN = new BigDecimal(16);

以下為方法實(shí)現(xiàn)代碼，其中calc16dPI即表示計(jì)算(16^d)*π，calc16dSj即表示計(jì)算(16^d)*Sj，可以看到，我將k(即代碼中的ACCURACY)設(shè)置為了d+10，這個(gè)數(shù)是我隨便設(shè)置的，你也可以將其設(shè)置成其他的，具體影響大不大我還沒研究。

BigDecimal calc16dPI(int d) {return FOUR.multiply(calc16dSj(d, 1)).add(BigDecimal.valueOf(3)).subtract(TWO.multiply(calc16dSj(d, 4)).divideAndRemainder(ONE)[1]).subtract(calc16dSj(d, 5).divideAndRemainder(ONE)[1]).subtract(calc16dSj(d, 6).divideAndRemainder(ONE)[1]).divideAndRemainder(ONE)[1];}BigDecimal calc16dSj(int d, int j) {int ACCURACY = d + 10;BigDecimal part1 = BigDecimal.ZERO;BigDecimal part2 = BigDecimal.ZERO;for (int k = 0; k <= d; k++) {part1 = part1.add(SIXTEEN.pow(d - k).divideAndRemainder(EIGHT.multiply(BigDecimal.valueOf(k)).add(BigDecimal.valueOf(j)))[1].divide(EIGHT.multiply(BigDecimal.valueOf(k)).add(BigDecimal.valueOf(j)), ACCURACY, BigDecimal.ROUND_HALF_UP));}for (int k = d + 1; k < ACCURACY; k++) {part2 = part2.add(ONE.divide(SIXTEEN.pow(k - d).multiply(EIGHT.multiply(BigDecimal.valueOf(k)).add(BigDecimal.valueOf(j))), ACCURACY, BigDecimal.ROUND_HALF_UP));}return part1.add(part2);}

以下為測(cè)試方法,計(jì)算十六進(jìn)制π的前100位，注意在結(jié)果上乘以一個(gè)16：

@Testpublic void mainCalc() {for (int d = 0; d < 100; d++) {System.out.println("index of " + (d + 1) + ": " + calc16dPI(d).multiply(SIXTEEN));}}

運(yùn)行結(jié)果截圖：

分別得到2、4、3、15、6、10、8、8、8、5...則π的十六進(jìn)制數(shù)應(yīng)該為3.243f6a8885...(整數(shù)位3是我手動(dòng)加上去的)
參考 我有點(diǎn)酷
參考 維基百科 和 The BBP Algorithm for Pi
如果您有什么需要補(bǔ)充或者我說(shuō)錯(cuò)的地方歡迎發(fā)郵件給我 zouheng613@163.com
bingo

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的如何使用BBP公式直接计算π的第n位的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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