一、假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)一定的假設(shè)條件，由樣本推斷總體的一種方法。

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是小概率反證法思想，小概率思想認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不可能發(fā)生，在這個(gè)方法下，我們首先對(duì)總體作出一個(gè)假設(shè)，這個(gè)假設(shè)大概率會(huì)成立，如果在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果和原假設(shè)相背離，也就是小概率事件竟然發(fā)生了，那我們就有理由懷疑原假設(shè)的真實(shí)性，從而拒絕這一假設(shè)。

二、假設(shè)檢驗(yàn)的四種方法

1、有關(guān)平均值參數(shù)u的假設(shè)檢驗(yàn)

根據(jù)是否已知方差,分為兩類檢驗(yàn)：U檢驗(yàn)和T檢驗(yàn)。
如果已知方差，則使用U檢驗(yàn)，如果方差未知?jiǎng)t采取T檢驗(yàn)。

2、有關(guān)參數(shù)方差σ2的假設(shè)檢驗(yàn)

F檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)正態(tài)分布的方差齊性檢驗(yàn)，簡(jiǎn)單來說，就是檢驗(yàn)兩個(gè)分布的方差是否相等

3、檢驗(yàn)兩個(gè)或多個(gè)變量之間是否關(guān)聯(lián)

卡方檢驗(yàn)屬于非參數(shù)檢驗(yàn)，主要是比較兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本率（構(gòu)成比）以及兩個(gè)分類變量的關(guān)聯(lián)性分析。根本思想在于比較理論頻數(shù)和實(shí)際頻數(shù)的吻合程度或者擬合優(yōu)度問題。

三、U檢驗(yàn)（Z檢驗(yàn)）

U檢驗(yàn)又稱Z檢驗(yàn)。

Z檢驗(yàn)是一般用于大樣本(即樣本容量大于30)平均值差異性檢驗(yàn)的方法（總體的方差已知）。它是用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的理論來推斷差異發(fā)生的概率，從而比較兩個(gè)平均數(shù)的差異是否顯著。

Z檢驗(yàn)步驟：

第一步：建立虛無假設(shè) H0:μ1 = μ2 ，即先假定兩個(gè)平均數(shù)之間沒有顯著差異，

第二步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z值，對(duì)于不同類型的問題選用不同的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方法，

1、如果檢驗(yàn)一個(gè)樣本平均數(shù)（X）與一個(gè)已知的總體平均數(shù)(μ0)的差異是否顯著。其Z值計(jì)算公式為：

其中：

X是檢驗(yàn)樣本的均值；

μ0是已知總體的平均數(shù)；

S是總體的標(biāo)準(zhǔn)差；

n是樣本容量。

2、如果檢驗(yàn)來自兩個(gè)的兩組樣本平均數(shù)的差異性，從而判斷它們各自代表的總體的差異是否顯著。其Z值計(jì)算公式為：

第三步：比較計(jì)算所得Z值與理論Z值，推斷發(fā)生的概率，依據(jù)Z值與差異顯著性關(guān)系表作出判斷。如下表所示：

第四步：根據(jù)是以上分析，結(jié)合具體情況，作出結(jié)論。

例子：一種原件，要求使用壽命不低于1000小時(shí)，現(xiàn)從一批這種原件中抽取25件，測(cè)得其使用壽命的平均值為950小時(shí)，已知該原件服從標(biāo)準(zhǔn)差S=100小時(shí)的正太分布，試在顯著性水平α=0.05下確定這批原件是否合格

解：使用壽命小于1000小時(shí)即為不合格，此題為左單側(cè)檢驗(yàn)

拒絕域?yàn)?#xff1a;Z<-μα ; 查表得 μ0.05=1.65

已知s2=100*2，X=950，n=25 假設(shè)H0：μ=1000；H1<1000

選取統(tǒng)計(jì)量 Z=（X - μ）（S/√n）= （950-1000）/（100/√25）=-2.5

因?yàn)?Z=-2.5<<-μα =-1.65 ，所以拒絕H0，即認(rèn)為這批原件不合格

四、T檢驗(yàn)

亦稱student t檢驗(yàn)（Student's t test），主要用于樣本含量較小（例如n<30），總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知的正態(tài)分布。目的是用來比較樣本均數(shù)所代表的未知總體均數(shù)μ和已知總體均數(shù)μ0。

T統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式：

自由度：v=n - 1

T檢驗(yàn)的步驟

第一步：建立虛無假設(shè)H0:μ1 = μ2，即先假定兩個(gè)總體平均數(shù)之間沒有顯著差異；

第二步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T值，對(duì)于不同類型的問題選用不同的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方法

1、如果要評(píng)斷一個(gè)總體中的小樣本平均數(shù)與總體平均值之間的差異程度，其統(tǒng)計(jì)量T值的計(jì)算公式為：

2、如果要評(píng)斷兩組樣本平均數(shù)之間的差異程度，其統(tǒng)計(jì)量T值的計(jì)算公式為：

第三步：根據(jù)自由度df=n-1，查T值表，找出規(guī)定的T理論值并進(jìn)行比較。理論值差異的顯著水平為0.01級(jí)或0.05級(jí)。不同自由度的顯著水平理論值記為T(df)0.01和T(df)0.05

第四步：比較計(jì)算得到的t值和理論T值，推斷發(fā)生的概率，依據(jù)下表給出的T值與差異顯著性關(guān)系表作出判斷。

第五步：根據(jù)是以上分析，結(jié)合具體情況，作出結(jié)論。

實(shí)際應(yīng)用中，T檢驗(yàn)可分為三種：單樣本T檢驗(yàn)、配對(duì)樣本T檢驗(yàn)和雙獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)

單樣本T檢驗(yàn)

例子：已知某班的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)復(fù)查正態(tài)分布，現(xiàn)從全班中抽取16人，測(cè)得這些人成績(jī)是[50,44,91,90,74,72,89,81,65,62,68,74,63,61,33,47]，問在α=0.05下，是否可以認(rèn)為全體考生的平均分是70分？

from scipy import stats import numpy as np

rvs = [50,44,91,90,74,72,89,81,65,62,68,74,63,61,33,47]
mean = np.mean(rvs)#均值
std = np.std(rvs)#標(biāo)準(zhǔn)差
print("均值：",mean," 標(biāo)準(zhǔn)差:",std)

t_val, p = stats.ttest_1samp(rvs, 70)
print("t_val:",t_val," p值：", p)

結(jié)論，因?yàn)閜值=0.42>0.05，所以可以認(rèn)為全體考生的平均分是70分

配對(duì)樣本T檢驗(yàn)

配對(duì)t檢驗(yàn)是采用配對(duì)設(shè)計(jì)方法觀察以下幾種情形：

1.配對(duì)的兩個(gè)受試對(duì)象分別接受兩種不同的處理；

2.同一受試對(duì)象接受兩種不同的處理；

3.同一受試對(duì)象處理前后的結(jié)果進(jìn)行比較（即自身配對(duì)）；

4.同一對(duì)象的兩個(gè)部位給予不同的處理。

例子：在針織品漂白工藝過程中， 要考慮溫度對(duì)針織品斷裂強(qiáng)力（主要質(zhì)量指標(biāo)）的影響。為了比較70℃與80℃的影響有無差別，在這兩個(gè)溫度下，分別重復(fù)做了8次試驗(yàn)，強(qiáng)力數(shù)據(jù)如下。問在70℃時(shí)的平均斷裂強(qiáng)力與80℃時(shí)的平均斷裂強(qiáng)力間是否有顯著差別？ 假定斷裂強(qiáng)力服從正態(tài)分布(α=0.05)

70℃時(shí)的強(qiáng)力:20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2

80℃時(shí)的強(qiáng)力:17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.0, 19.1

from scipy.stats import ttest_rel import pandas as pd

x = [20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2]
y = [17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.0, 19.1]

配對(duì)樣本t檢驗(yàn)

t_val, p = ttest_rel(x, y)
print('t_val：',t_val," p值：", p)

結(jié)論: 因?yàn)閜值=0.1149>0.05, 故接受原假設(shè), 認(rèn)為在70℃時(shí)的平均斷裂強(qiáng)力與80℃時(shí)的平均斷裂強(qiáng)力間無顯著差別

雙獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)

例子：甲乙兩臺(tái)機(jī)床加工螺絲帽，螺絲帽的半徑都服從正態(tài)分布，為驗(yàn)證兩臺(tái)機(jī)床加工的螺絲帽半徑是否相等，分別取兩臺(tái)機(jī)床加工的8、7枚螺絲帽進(jìn)行測(cè)量，分別測(cè)得[20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9]\[20.7,19.8,19.5,20.8,20.4,19.6,20.2] 問兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺絲帽半徑是否有差異（α=0.05）

from scipy.stats import norm,ttest_ind #引入正態(tài)分布(norm)，T檢驗(yàn)（ttest_ind）

n1_samples = [20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9]
n2_samples = [20.7,19.8,19.5,20.8,20.4,19.6,20.2]

#獨(dú)立雙樣本 t 檢驗(yàn)的目的在于判斷兩組樣本之間是否有顯著差異：
t_val, p = ttest_ind(n1_samples, n2_samples)
print('t_val：',t_val," p值：", p) #p值小于0.05時(shí)，認(rèn)為差異顯著；大于等于0.05時(shí)表示差異不顯著

結(jié)論：p值=0.408>0.05，接受原假設(shè)，甲乙機(jī)床制造的螺絲帽半徑?jīng)]有顯著性差異

五、卡方檢驗(yàn)

卡方檢驗(yàn)又稱X2檢驗(yàn)，就是檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間有沒有關(guān)系。

屬于非參數(shù)檢驗(yàn)，主要是比較兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本率（構(gòu)成比）以及兩個(gè)分類變量的關(guān)聯(lián)性分析。根本思想在于比較理論頻數(shù)和實(shí)際頻數(shù)的吻合程度或者擬合優(yōu)度問題。

X2計(jì)算公式為：

例子1：有AB兩種藥可以治療某種疾病，問兩種藥物的療效是否相同？

藥類	有效	無效	合計(jì)	有效率
A藥	67	26	93	72.04%
B藥	44	30	74	59.46%
合計(jì)	111	56	167	66.47%

解：建立假設(shè)H0，兩種藥物療效相同，計(jì)算得其理論值為：

藥類	有效	無效	合計(jì)
A藥	61.8	31.2	93
B藥	49.2	24.8	74
合計(jì)	111	56	167

X2=（67-61.8）2/61.8+（26-31.2）2/31.2+（44-49.2）2/49.2+（30-24.8）2/24.8=2.94

查表得P>0.1，按0.05標(biāo)準(zhǔn)，不拒絕H0，即可以認(rèn)為兩種藥物的療效相同

例子2：探究死亡年齡和居住地、性別是否有關(guān)？

#old | ruralMale| ruralFemale | urbanMale | urbanFemale
#50-54 | 11.7 | 8.7 | 15.4 | 8.4
#55-59 | 18.1 |11.7 | 24.3 | 13.6
#60-64 | 26.9 | 20.3 | 37 | 19.3
#65-69 | 41 | 30.9 | 54.6 | 35.1
#70-74 | 66 | 54.3 | 71.1 | 50

from scipy.stats import chi2_contingency import numpy as np kf_data = np.array([[11.7,8.7,15.4,8.4], [18.1,11.7,24.3,13.6],[26.9,20.3,37,19.3],[41,30.9,54.6,35.1],[66,54.3,71.1,50]]) kf = chi2_contingency(kf_data) print('chisq-statistic=%.4f, p-value=%.4f, df=%i \n expected_frep: \n%s'%kf)

結(jié)論: 因?yàn)閜值=0.9961>0.05, 故接受原假設(shè), 認(rèn)為死亡年齡和居住地、性別無顯著差別。

六、F檢驗(yàn)

F檢驗(yàn)法是檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的總體方差是否相等的一種假設(shè)檢驗(yàn)方法。

F統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式：

例子：存在兩組數(shù)據(jù)，需要驗(yàn)證這兩組數(shù)據(jù)的方差齊性。
x = [20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2]
y = [17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.0, 19.1]

from scipy.stats import levene

x = [20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2]
y = [17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.0, 19.1]
f_val, p = levene(x, y)
print(f_val, p)

結(jié)論，p值=0.93大于0.05，認(rèn)為兩個(gè)總體不具有方差齊性

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的假设检验-U检验、T检验、卡方检验、F检验的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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