判斷某點(diǎn)是否在三角形內(nèi)

這個(gè)問(wèn)題碰到過(guò)好幾次了，不僅是筆試的時(shí)候，還有在工作上，所以這里做個(gè)小總結(jié)。

1、通過(guò)第三方庫(kù)函數(shù)

首先介紹最簡(jiǎn)單的方法，直接調(diào)用已有的函數(shù)。采用python的matplotlib庫(kù)，里面的Path.contains_points,
該函數(shù)十分強(qiáng)大，可以根據(jù)任意幾個(gè)點(diǎn)所組成的多邊形，計(jì)算新輸入的點(diǎn)是否在該多邊形內(nèi)，當(dāng)然三角形就是其中的一種情況了。

該函數(shù)使用示例如下：

>>>from matplotlib import path >>>p = path.Path([(0, 0), (1, 0), (1, 1)]) >>>p.contains_points([(0.1, 0.1)]) array([ True], dtype=bool)

其中我們用(0, 0)、(0, 1)、(1, 1)構(gòu)建了一個(gè)三角形，當(dāng)新輸入一點(diǎn)(0.1, 0.1)的時(shí)候，返回值為True，說(shuō)明該點(diǎn)位于三角形內(nèi)。該函數(shù)還支持輸入多個(gè)點(diǎn)進(jìn)行判決，得到一個(gè)bool型的array數(shù)組。

看到array自然就能聯(lián)想到，它也支持以numpy.array格式輸入的點(diǎn)，但是一定要注意，以此種格式輸入時(shí)，一定要加上reshape(n, 2)，即輸入必須為一個(gè)n行2列的數(shù)組。

2、內(nèi)角和等于360°

這種方法最好理解，即對(duì)于△ABC內(nèi)的某一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC得到三條線段，當(dāng)且僅當(dāng)三條線段組成的三個(gè)夾角和為360°的時(shí)候，該點(diǎn)才位于三角形內(nèi)部。但此種方法的計(jì)算涉及到平方根、反正（余）弦，效率十分低下。

類似的還有，P與ABC三個(gè)頂點(diǎn)組成的三個(gè)三角形，面積之和等于△ABC的面積，同樣可以證明點(diǎn)P位于三角形內(nèi)部，但效率也很低。

3、Same Side Technique

這種方法是我從別處看來(lái)的，覺(jué)得很新穎，想看英文原版的可以直接點(diǎn)這里。下面我解釋一下該方法的思想，首先看下圖：

如果某點(diǎn)位于△ABC內(nèi)部，那么該點(diǎn)一定位于AB的下邊，AC的右邊，BC的左邊。要用數(shù)學(xué)的方法來(lái)表示，可以采用向量積，向量積有個(gè)很重要的右手定則，忘記了的自行復(fù)習(xí)一下。下面接著看下一張圖：

對(duì)于任意的一點(diǎn)P, AB→×AP→，其結(jié)果根據(jù)右手定則，應(yīng)為指向屏幕外，而AB→×AP′→的結(jié)果則是指向屏幕里。根據(jù)這一特性，我們只要找到某一點(diǎn)P，滿足AB→×AP→與AB→×AC→具有同一方向、AC→×AP→與AC→×AB→具有同一方向、BC→×BP→與BC→×BA→具有同一方向，則點(diǎn)P位于△ABC內(nèi)。

這種方法涉及到的計(jì)算是向量運(yùn)算，沒(méi)有平方根、反余弦這些，效率比第2種方法高，代碼部分可以參考原文，下面著重介紹最后一種方法。

4、Barycentric Coordinates

最后一種方法的效率最高，但是理解起來(lái)需要的步驟多一點(diǎn)，我們先看下面這張圖

AP→可表示為：

AP→=u?AB→+v?AC→
其中u、v為常量系數(shù)，從圖中我們即可得知，當(dāng)u>0且v>0時(shí)，P的位置才有可能正確，那是不是u、v可以無(wú)限大呢？當(dāng)然不是，當(dāng)u+v>1時(shí)，P就會(huì)超出三角形的范圍，而當(dāng)u+v=1時(shí)，點(diǎn)P剛好位于BC上，這里稍微證明一下。
當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，也就是 BP→、PC→同向，將前面 AP→的表示方式代入，那么這兩個(gè)向量可以分別表示為：
BP→=AP→?AB→=(u?1)?AB→+v?AC→ PC→=AC→?AP→=(1?v)?AC→?u?AB→
由于兩者同向，那么就存在一個(gè) λ( λ>0)，使得 BP→=λPC→，代入上面兩式，整理一下，就得到了下面的式子：
(u?1+λu)?AB→=(λ?λv?v)?AC→
上式要成立，當(dāng)且僅當(dāng)左右兩邊的系數(shù)都為0。由此得到兩個(gè)方程，消去 λ就可以得到u+v=1了。有了這一點(diǎn)，為什么三角形內(nèi)部點(diǎn)的u、v之和小于1，外部點(diǎn)的大于1，請(qǐng)讀者自行理解，這里不再展開了。

根據(jù)模型，得到公式

由此我們的模型就得到了：對(duì)于任意給定的一點(diǎn)P，判斷其是否位于△ABC的內(nèi)部，就是要計(jì)算其相對(duì)于△ABC的u、v值，只要這兩個(gè)值滿足u>0、 v>0、 u+v<1，那么可以確定點(diǎn)P位于三角形內(nèi)。這樣只要得到u、v的表達(dá)式，在代碼里面就能直接使用了。該表達(dá)式的推導(dǎo)還是有點(diǎn)麻煩的，我看原文（最底下）中，作者是用軟件算出來(lái)的，想挑戰(zhàn)一下的朋友也可以自行推導(dǎo)，這里我直接給出最終的代碼（參考的是stackoverflow上面的第三個(gè)回答）：

Area = 0.5 *(-p1y*p2x + p0y*(-p1x + p2x) + p0x*(p1y - p2y) + p1x*p2y);u = 1/(2*Area)*(p0y*p2x - p0x*p2y + (p2y - p0y)*px + (p0x - p2x)*py); v = 1/(2*Area)*(p0x*p1y - p0y*p1x + (p0y - p1y)*px + (p1x - p0x)*py);

其中p0、p1、p2分別是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，p表示待判斷的點(diǎn)，后面跟著x、y表示頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)。只要滿足u>0、v>0、u+v<1，就說(shuō)明p位于p0、p1、p2組成的三角形內(nèi)部，這幾個(gè)公式的計(jì)算量對(duì)計(jì)算機(jī)而言是相當(dāng)小了。

PS

第一次寫技術(shù)類博客，竟然是兩個(gè)月以后了，拖延癥晚期啊。而且剛開始寫，也不知道側(cè)重點(diǎn)在哪，因?yàn)橛械臅r(shí)候看下解決方案就好，有的時(shí)候可能還想了解一下原理，還是慢慢摸索吧。最后，這篇文章還是費(fèi)了不少時(shí)間的，由此我想到了網(wǎng)上那些大神的博客，衷心為他們點(diǎn)贊！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的判断某点是否在三角形内的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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